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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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daiben06

金虫 (初入文坛)

[交流] 无穷的理解 已有2人参与

前段时间看一个视频，里面讲到了一个加百列号角，就是y = 1/x,绕着y轴旋转形成的旋转面.这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的。（可以用微积分简单计算知道）。
同样的列子还有很多, 就简单的如正态分布，都知道正态分布的两个尾巴是无线衍生的，但是正态分布的曲面和x轴所围成的面积是1.

讲视频的人提了这样一个问题，在加百列号角里面加入有限体积的油漆，这个油漆能不能涂满所有的号角表面？

答案当然是能。
我有自己的一个理解：面积和体积，周长和面积，本身上不是一个维度上的概念，就像是无穷多个点组成了线，无穷多条线改成了面，无穷多个面构成了体。
也就是说，对任意大的一个表面积M,总能存在一个高度h，使得：
V  = M * h ;
其中V就表示油漆的体积。

自己这样的一个理解不知道正确不正确，希望大家能讲一讲自己的理解~~互相学习！
无穷的理解
加百列号角.jpg

[ Last edited by daiben06 on 2013-9-11 at 19:29 ]
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gametheory~
1楼 2013-09-11 19:28:32
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zaimeng155

至尊木虫 (知名作家)

山巅海尽丨千古奇峰
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y = 1/x,绕着y轴旋转形成的旋转面.这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的


怎么感觉这句话矛盾啊！！

就以涂油漆来说吧！

既然体积有限，那我就在这些体积里装满油漆，再把油漆倒出来，倒出来的体积是可以测量的。油漆的厚度也是可以知道的，这样面积不久一定了吗？
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狂妄而有自知之明，骄傲而留一张底牌。(海到尽头天做岸，山登绝顶我为峰)【翻开新的一页，机遇与挑战并存】——我不累，不累是假的不怕了才是真的——
2楼2013-09-11 23:43:37
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daiben06

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zaimeng155 at 2013-09-11 23:43:37
y = 1/x,绕着y轴旋转形成的旋转面.这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的


怎么感觉这句话矛盾啊！！

就以涂油漆来说吧！

既然体积有限，那我就在这些体积里装满油漆，再把油 ...

zaimeng 感觉你可能还没有真正理解无穷的含义。
这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的。这个肯定是正确的。早在牛顿-莱布尼茨公式提出之前就有了，你可以去搜索一下证明。

无穷是一个新世界.用常识去理解往往是错的...
你可能被具象的东西：油漆,所迷惑了.
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gametheory~
3楼2013-09-12 10:17:09
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zaimeng155

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3楼: Originally posted by daiben06 at 2013-09-12 10:17:09
zaimeng 感觉你可能还没有真正理解无穷的含义。
这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的。这个肯定是正确的。早在牛顿-莱布尼茨公式提出之前就有了，你可以去搜索一下证明。

无穷是 ...

在此，我并不是说那个完全错误的！！


只是有点不理解？

不知能否解释下我是怎么没迷惑的？

我不是很明白？
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4楼2013-09-12 22:19:42
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daiben06

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zaimeng155 at 2013-09-12 22:19:42
在此，我并不是说那个完全错误的！！


只是有点不理解？

不知能否解释下我是怎么没迷惑的？

我不是很明白？

...

表面积本身是二维的概念，而体积是三维的概念。不能在一起谈论。
其实说问题里面 油漆  能不能灌满 和 表面积肯本就是没有关系的。表面积无限并不影响体积的有限。
至于能不能涂满表面，这个问题就不能用我们生活的世界去看，无穷又是一个新世界。
如果真的想成油漆，您想一想 有没有这种可能，我们把表面积展平，把油漆涂到上面去，那么表面积很大，体积是一个定值，那么涂上的油漆的厚度很小很小。表面积很大，体积是一个定值，涂上的油漆的厚度就是无限小。那么无限大是多大，无限小是多小？数学上说任给一个数，比它都小就是无限小。
所以油漆涂到表面积上的厚度不是有限的，它其实是无穷小的。
这样太具象了。其实问题就有点像：一个点的长度是多少？一条线的面积是多少，一个面的体积是多少？。
这个问题我感觉也可以用实分析里面的测度是理解吧。
我的表述能力不是很好，建议你去看看上海交大的公开课《数学之旅》，里面就讲到了这个问题。
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gametheory~
5楼2013-09-12 22:42:12
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zaimeng155

至尊木虫 (知名作家)

山巅海尽丨千古奇峰
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5楼: Originally posted by daiben06 at 2013-09-12 22:42:12
表面积本身是二维的概念，而体积是三维的概念。不能在一起谈论。
其实说问题里面 油漆  能不能灌满 和 表面积肯本就是没有关系的。表面积无限并不影响体积的有限。
至于能不能涂满表面，这个问题就不能用我们生活 ...

你要是这样理解我就不说什么了！！！
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狂妄而有自知之明，骄傲而留一张底牌。(海到尽头天做岸，山登绝顶我为峰)【翻开新的一页，机遇与挑战并存】——我不累，不累是假的不怕了才是真的——
6楼2013-09-12 22:53:32
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无名化雪

金虫 (小有名气)
★
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也就是说，对任意大的一个表面积M,总能存在一个高度h，使得：
V  = M * h ;
其中V就表示油漆的体积。
你这就话怎么觉得不对劲呢，如果用微积分的观点来说，趋近于0这个数就无法确定，而面积就会趋于无穷大。
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好东西要学会分享
7楼2013-09-14 09:26:23
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