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无穷的理解 已有2人参与
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前段时间看一个视频，里面讲到了一个加百列号角，就是y = 1/x,绕着y轴旋转形成的旋转面.这个旋转面在很早的时候就被证明了表面积是无限的，然而体积是有限的。（可以用微积分简单计算知道）。 同样的列子还有很多, 就简单的如正态分布，都知道正态分布的两个尾巴是无线衍生的，但是正态分布的曲面和x轴所围成的面积是1. 讲视频的人提了这样一个问题，在加百列号角里面加入有限体积的油漆，这个油漆能不能涂满所有的号角表面？ 答案当然是能。 我有自己的一个理解：面积和体积，周长和面积，本身上不是一个维度上的概念，就像是无穷多个点组成了线，无穷多条线改成了面，无穷多个面构成了体。 也就是说，对任意大的一个表面积M,总能存在一个高度h，使得： V = M * h ; 其中V就表示油漆的体积。 自己这样的一个理解不知道正确不正确，希望大家能讲一讲自己的理解~~互相学习！  加百列号角.jpg [ Last edited by daiben06 on 2013-9-11 at 19:29 ] |
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2楼2013-09-11 23:43:37
3楼2013-09-12 10:17:09
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表面积本身是二维的概念，而体积是三维的概念。不能在一起谈论。 其实说问题里面 油漆 能不能灌满 和 表面积肯本就是没有关系的。表面积无限并不影响体积的有限。 至于能不能涂满表面，这个问题就不能用我们生活的世界去看，无穷又是一个新世界。 如果真的想成油漆，您想一想 有没有这种可能，我们把表面积展平，把油漆涂到上面去，那么表面积很大，体积是一个定值，那么涂上的油漆的厚度很小很小。表面积很大，体积是一个定值，涂上的油漆的厚度就是无限小。那么无限大是多大，无限小是多小？数学上说任给一个数，比它都小就是无限小。 所以油漆涂到表面积上的厚度不是有限的，它其实是无穷小的。 这样太具象了。其实问题就有点像：一个点的长度是多少？一条线的面积是多少，一个面的体积是多少？。 这个问题我感觉也可以用实分析里面的测度是理解吧。 我的表述能力不是很好，建议你去看看上海交大的公开课《数学之旅》，里面就讲到了这个问题。 |
5楼2013-09-12 22:42:12
