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Jeydragon

木虫 (正式写手)

[求助] 求助大神解算一个三重积分（柱面积分）

求助大神解算一个三重积分（柱面积分）
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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。
1楼 2013-09-02 15:48:02
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zjl20111015

木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by Jeydragon at 2013-09-03 11:09:05
这个思路很好，你方便详细过程计算一下吗，谢谢。...

之所以先用a代替零是那部二重积分化为一重积分出现了发散积分，虽然可以抵消，但为了严密性，仍多此一举
求助大神解算一个三重积分（柱面积分）-1
IMG_20130903_123923[1].jpg
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Jeydragon
Believe in yourself.
10楼2013-09-03 12:49:02
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daiben06

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主可以考虑一下球坐标，看一个例题就会了~
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gametheory~
2楼2013-09-02 18:00:40
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Jeydragon

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by daiben06 at 2013-09-02 18:00:40
楼主可以考虑一下球坐标，看一个例题就会了~

我也想球坐标，可是积分区域为圆柱体，这个不好表示吧，此外积分函数也不好表达呢，你试试？
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欲海沉浮名利争，石光电火步此生；风尘情事挥不尽，观世不笑是痴人。
3楼2013-09-02 18:45:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jeydragon at 2013-09-02 18:45:12
我也想球坐标，可是积分区域为圆柱体，这个不好表示吧，此外积分函数也不好表达呢，你试试？...

楼主还是用柱坐标吧，呼应积分区域。 x=r cos(theta), y=r sin(theta), z=z, 这时 dxdydz= r dr d(theta) dz， 积分表达式为

(2r^2 cos^2(theta) -r^2 Sin^2(theta) -z^2 )*r / (r^2+z^2)^(5/2)
= (3*Cos^2(theta)-1)* r/(r^2+z^2)^(3/2)
  - 3z^2 Cos^2(Theta)* r/(r^2+z^2)^(5/2).
先积Theta， 它是独立的因子。再积r,有原函数的。得到积分函数
Pi*( 1/z - 1/Sqrt(z^2+R^2) ) + Pi*z^2*( 1/(z^2+R^2)^(3/2) - 1/z^3) ,即 -R^2*Pi* (z^2+R^2)^(-3/2) dz. 奇怪怎么是负值函数？

作变量替换 z=R*tan(phi)， 可以得到最后答案
-Pi* Sqrt( z^2/ (R^2+z^2) ) 在z的两个端点的差， 即 Pi 乘以
1 /Sqrt(1 +(R/Z_h)^2) - 1 /Sqrt(1 +(R/Z_H)^2).
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-09-03 06:25:55
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