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Jeydragon木虫 (正式写手)
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[求助]
求助大神解算一个三重积分（柱面积分）
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hank612
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【答案】应助回帖
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楼主还是用柱坐标吧，呼应积分区域。 x=r cos(theta), y=r sin(theta), z=z, 这时 dxdydz= r dr d(theta) dz， 积分表达式为 (2r^2 cos^2(theta) -r^2 Sin^2(theta) -z^2 )*r / (r^2+z^2)^(5/2) = (3*Cos^2(theta)-1)* r/(r^2+z^2)^(3/2) - 3z^2 Cos^2(Theta)* r/(r^2+z^2)^(5/2). 先积Theta， 它是独立的因子。再积r,有原函数的。得到积分函数 Pi*( 1/z - 1/Sqrt(z^2+R^2) ) + Pi*z^2*( 1/(z^2+R^2)^(3/2) - 1/z^3) ,即 -R^2*Pi* (z^2+R^2)^(-3/2) dz. 奇怪怎么是负值函数？ 作变量替换 z=R*tan(phi)， 可以得到最后答案 -Pi* Sqrt( z^2/ (R^2+z^2) ) 在z的两个端点的差， 即 Pi 乘以 1 /Sqrt(1 +(R/Z_h)^2) - 1 /Sqrt(1 +(R/Z_H)^2). |
4楼2013-09-03 06:25:55
2楼2013-09-02 18:00:40
Jeydragon
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zjl20111015
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【答案】应助回帖
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Jeydragon: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2013-09-04 08:37:52
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Jeydragon: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2013-09-04 08:37:52
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不知这个题的区间是怎样，如果是关于z轴中心对称的那种，完全可以先用对称性化简，再用柱面积分，计算量比较小，具体如下：很显然若关于z轴中心对称，则有x^2/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)在整个区间的积分等于y^2/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)的积分。那么原积分函数分子中的2x^2-y^2即可化为(x^2+y^2)/2,再换元dx dy=r dr dβ，积分函数与角度无关，即可化为二重积分，先积r,再积z,积z的时候可能不好搞，用个三角换元即可。 [ 发自小木虫客户端 ] |
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Jeydragon5楼2013-09-03 07:13:54