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Jeydragon木虫 (正式写手)
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[求助]
求助大神解算一个三重积分（柱面积分）
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Jeydragon
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9楼2013-09-03 11:09:05
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Jeydragon
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3楼2013-09-02 18:45:12
hank612
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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楼主还是用柱坐标吧，呼应积分区域。 x=r cos(theta), y=r sin(theta), z=z, 这时 dxdydz= r dr d(theta) dz， 积分表达式为 (2r^2 cos^2(theta) -r^2 Sin^2(theta) -z^2 )*r / (r^2+z^2)^(5/2) = (3*Cos^2(theta)-1)* r/(r^2+z^2)^(3/2) - 3z^2 Cos^2(Theta)* r/(r^2+z^2)^(5/2). 先积Theta， 它是独立的因子。再积r,有原函数的。得到积分函数 Pi*( 1/z - 1/Sqrt(z^2+R^2) ) + Pi*z^2*( 1/(z^2+R^2)^(3/2) - 1/z^3) ,即 -R^2*Pi* (z^2+R^2)^(-3/2) dz. 奇怪怎么是负值函数？ 作变量替换 z=R*tan(phi)， 可以得到最后答案 -Pi* Sqrt( z^2/ (R^2+z^2) ) 在z的两个端点的差， 即 Pi 乘以 1 /Sqrt(1 +(R/Z_h)^2) - 1 /Sqrt(1 +(R/Z_H)^2). |
4楼2013-09-03 06:25:55
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