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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 泛函问题的一些不太清楚的东西
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daiben06

金虫 (初入文坛)

[求助] 泛函问题的一些不太清楚的东西

最近看泛函优化的问题，没有学过泛函分析，有几个问题不太懂：
1.泛函问题的目标泛函一定是带有积分的形式的吗，如果没有积分形式，但是目标泛函中又出现了函数变量，应该怎么处理。
2.泛函优化中如果有等号约束是要转换成汉密尔顿函数，如果不仅仅是等号约束，还有不等约束将如何处理。
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gametheory~
1楼 2013-08-24 18:09:12
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yongcailiu

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
daiben06: 金币+15, ★★★很有帮助 2013-09-01 15:03:18
关于第一个问题，目标泛函极值问题一般都是在一个区间上讨论的，即积分的形式，采用的方法是变分法。如果不是积分形式，有两个问题，一，针对什么取极值？显然不能是区间了，只能是某个点；二，如果是某个点的话，用变分法的思想进行推导，我没有推导出一个结果；关于第二点，还没有看过这方面的东西，不过在优化问题中，经常用罚函数等方法，不知道能借用否。
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daiben06
2楼2013-08-28 13:25:35
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daiben06

金虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-08-28 13:25:35
关于第一个问题，目标泛函极值问题一般都是在一个区间上讨论的，即积分的形式，采用的方法是变分法。如果不是积分形式，有两个问题，一，针对什么取极值？显然不能是区间了，只能是某个点；二，如果是某个点的话，用 ...

第一个，的确是在一个点的极值考虑，基本是最后时刻的极值问题。推导到最后的正则条件，欧拉方程，运动方程问题大的话大概有十几条等式，这些等式怎么利用，是肯定可以用数值解法去解的吗。
第二个，我后来去找了google上的资料，好像是化成互不松弛等式去转化，但是得到的等式和上面的等式一起，不太清楚能不能用数值解法求解。是肯定可以的吗？
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gametheory~
3楼2013-08-29 20:54:49
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yongcailiu

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by daiben06 at 2013-08-29 20:54:49
第一个，的确是在一个点的极值考虑，基本是最后时刻的极值问题。推导到最后的正则条件，欧拉方程，运动方程问题大的话大概有十几条等式，这些等式怎么利用，是肯定可以用数值解法去解的吗。
第二个，我后来去找了 ...

当解析解求不出来或者很难求的时候，应该考虑数值解。但是，使用数值解，要考虑它的收敛性以及对初值的扰动性等，这要根据具体的问题来设计相应的数值解法，尤其是遇到偏微分方程的时候，应分门别类考虑。对于第一个问题，如果要在某一点考虑极值的话，变分法我没有推导出结果，能想到的方法是，要它的有限基底来近似表达该函数，然后求其系数。
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4楼2013-08-31 18:21:47
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daiben06

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-08-31 18:21:47
当解析解求不出来或者很难求的时候，应该考虑数值解。但是，使用数值解，要考虑它的收敛性以及对初值的扰动性等，这要根据具体的问题来设计相应的数值解法，尤其是遇到偏微分方程的时候，应分门别类考虑。对于第一 ...

有限基表达泛函可能表达不出来吧，如果目标是非线性的呢？用基怎么表达。
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gametheory~
5楼2013-08-31 21:01:06
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
daiben06: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-09-01 15:03:26
本帖内容被屏蔽
6楼2013-09-01 10:41:54
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daiben06

金虫 (初入文坛)
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6楼: Originally posted by laosam280 at 2013-09-01 10:41:54
关于第一点，我的理解是写成积分形式是一种统一的做法，强调极值的考虑范围是在某一个有限或者无限的区间（或者区域，对应于高维情形）。对于某些特殊的目标函数，实际上这样的积分是可以解析的表示出来，这就变成了 ...

我了解你的理解了，能不能具体得帮我看一个问题。
我可以利用正则条件、互补松弛写出这些方程，但是得到的这些方程一定可以求得数值解吗？
泛函问题的一些不太清楚的东西
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泛函问题的一些不太清楚的东西-1
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gametheory~
7楼2013-09-01 15:08:32
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