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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 傅里叶级数在L2空间中是否完备？
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lixy1217

木虫 (著名写手)

[求助] 傅里叶级数在L2空间中是否完备？

RT，数学分析里关于傅里叶级数的一致收敛性都是在连续的条件下。

可是对于不连续情形，一致收敛是肯定不可以的，但是感觉级数在L2空间中应该还是完备的，也就是能够依L2范数收敛，却不知该如何证明。求给出证明或者提供某些有关此证明的资料。
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1楼 2013-07-07 16:39:07
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lixy1217: 金币+3, ★有帮助, "每一个有界的阶梯函数可以展开成傅里叶级数"，这是一个有用的结论，只是想看看它的证明 2013-07-08 11:30:29
本帖内容被屏蔽
2楼2013-07-07 23:32:32
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2013-07-07 23:32:32
老实说，我没有很好的理解您的问题。
鲁津定理告诉我们，几乎处处连续的函数可以用阶梯函数充分逼近。每一个有界的阶梯函数可以
展开成傅里叶级数，而且系数是有界并且在无穷远处趋于零；所有L2中的函数是可以展开 ...

可是不知几乎处处逐点收敛能否导出依L2范数收敛，因为我更在乎的是后者。
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
3楼2013-07-08 11:37:59
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我给你些资料，一切尽在不言中；
吉田耕作，泛函分析，Page7-8.（stone-weierstrass定理，weierstrass三角逼近定理）
Brezis，Functional analysis Sobolev sapce and PDEs，Page 167 and Page 232（第8章）；
其实Fourier级数天生就是L2下完备的；
weierstrass三角逼近定理针对三角级数，而不是Fourier级数；
外加个鲁津猜想：http://www.wordwendang.com/word_daxue/0612/634495_49.html
傅里叶级数在L2空间中是否完备？
1.jpg


傅里叶级数在L2空间中是否完备？-1
2.jpg
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女靠衣装；男靠金装
4楼2013-07-08 12:37:06
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xu_don

铜虫 (小有名气)
完备不是对空间而言的么，而且L2空间本身就是完备的！
傅立叶级数本身的来源不就是以三角函数为基地的展开么。

所以我想知道具体的问题是什么样子的呢？
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人生在于折腾
5楼2013-07-08 23:40:31
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分析难搞

铁虫 (初入文坛)
L1中的函数f的傅里叶级数在L2意义下收敛于f,参见鲁丁的《实分析和复分析》106页，第四章
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人生是正弦函数
6楼2013-07-27 22:48:31
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