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[求助] 演化算符

我在看 “Atom-Photon Interaction" by Claude Cohen-Tannoudji
其中关于Schrodinger表象下的演化算符问题。演化算符可以定义为

$|\psi_f\rangle=U(t_f, t_i)|\psi_i\rangle$

其中 $U(t_f, t_i)$ 满足下列条件：

$U(t_i, t_i)=1\;\;\;(1)$

$U(t_f, t_i)=U_0(t_f, t_i) + \frac{1}{i\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\!dt\,U_0(t_f, t)VU(t, t_i)\;\;\;(2)$
其中：
$U_0(t_f, t_i)=\exp(-iH_0 (t_f-t_i) / \hbar)$

书中说：如果要证明（2），只需要验证：
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t_f}U(t_f, t_i)=(H_0 + V) U(t_f, t_i)\;\;\; (3)$

我就是想从（2）得到（3），做法是：

$\frac{\partial}{\partial t_f}U(t_f, t_i)=\frac{\partial}{\partial t_f}U_0(t_f, t_i)+\frac{1}{i\hbar}\frac{\partial}{\partial t_f}\int_{t_i}^{t_f}\!dt\,U_0(t_f, t)VU(t, t_i)$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{i\hbar}H_0\exp(-iH_0(t_f-t_i)/\hbar)+\frac{1}{i\hbar}U_0(t_f,t_f)VU(t_f,t_i)$
（很有可能这一步是不对的。）

$=\frac{1}{i\hbar}H_0 U_0(t_f, t_i)+\frac{1}{i\hbar}U_0(t_f,t_f)VU(t_f,t_i)$

由于：
$U(t_f, t_f)=1$

所以：
$=\frac{1}{i\hbar}H_0U_0+\frac{1}{i\hbar}VU(t_f,t_i)$

$\not=\frac{1}{i\hbar}(H_0+V)U(t_f,t_i)$

就是说没得到（2）和（3）是等价的关系。
我错在哪里呢？

[ Last edited by ifelseend on 2013-4-13 at 13:59 ]

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1楼 2013-04-13 13:03:38

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引用回帖:

2楼: Originally posted by yiluwangxi at 2013-04-13 14:13:47
（很有可能这一步是不对的。）-----这一步的确不对。因为我不知道怎么打公式，所以无法具体给你解释。
关键在于你对tf的导数算错了。这个不难，按照导数的定义来算就会多一项的。这多的一项就会把最后的式子的U0变 ...

不如你用就用文字说一遍，我看我能明白不？