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08jmliu

新虫 (小有名气)

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[求助] 关于满射

一个线性映射f：X 到 Y, 是满的。其中X和Y 是完备的Banach 空间。
那么，Y 中有界集的原像是不是一定是有界集？这里的有界是指范数有界。

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1楼 2013-04-01 09:36:58

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

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专业: 泛函分析

显然不一定，如果 f 把某个非零向量 x 映为零向量，则 Y 中有界集 {0} 的原象就是 X 中的无界集（因它包含 nx, n 为任意正整数）

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2楼2013-04-01 11:50:42

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weft

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
08jmliu: 金币+1, ★有帮助 2013-04-05 20:39:38

这个结论不对。例子：考虑从 ${R^2}$ 到 ${R}$ 的投影算子 ${P:\ (x,y) \mapsto x}$ ，这是个线性映射，而且是满射。对于 ${R}$ 中的任意有界集 ${[a,b]}$ ，它的原像集是 ${R^2}$ 中以直线 ${x=a}$ 和 ${x=b}$ 为边界的带形区域，这显然是一个无界集。

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3楼2013-04-01 22:03:05

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