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dws34

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
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虫号: 1212045
注册: 2011-02-24
性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 黎曼流形上的容许联络问题

在读陈省身先生的《微分几何讲义》时遇到下述问题（第二版书中见P132）
即容许联络的定义 $DG=0$ ，其中 $G=g_{ij}du^i\bigotimes du^j$ ，然后书中
计算 $得$DG=(dg_{ij}-\omega^k_ig_{kj}-\omega^k_jg_{ik})\bigotimes du^i\bigotimes du^j$$ ，
根据我的计算，最后一项不知如何处理方可得到以上等式。现计算如下\\
%\begin{equation} %\begin{split} $\begin{eqnarray*} DG &=&Dg_{ij}du^i\bigotimes du^j\\ &=&dg_{ij}\bigotimes du^i\bigotimes du^j+g_{ij}Ddu^i\bigotimes du^j+g_{ij}du^i\bigotimes Ddu^j\\ &=& dg_{ij}\bigotimes du^i\bigotimes du^j-g_{ij}\omega^i_k\bigotimes du^k\bigotimes du^j-g_{ij} du^i\bigotimes \omega^j_k \bigotimes du^k\\ &=&dg_{ij}\bigotimes du^i\bigotimes du^j-g_{kj}\omega^k_i \bigotimes du^i\bigotimes du^j-g_{ik}du^i\bigotimes\omega^k_j \bigotimes du^j\\ &=&(dg_{ij}-\omega^k_ig_{kj}-\omega^k_jg_{ik})\bigotimes du^i\bigotimes du^j %\end{split}$ %\end{equation} \end{eqnarray*}
这时，最后一个等式是否利用 $了$g_{ik}du^i\bigotimes \omega^k_j\bigotimes du^j=g_{ik}\omega^k_j\bigotimes du^i\bigotimes du^j$$ ，但是上述交换只有在对称张量的情形才成立，这里是做了交换还是另有其他原因，请指教。谢谢！\\
邮箱： dweeson@gmail.com

[ Last edited by soliton923 on 2013-1-13 at 15:14 ]

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