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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么GL（2，C）是连通的
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彩虹W

银虫 (正式写手)

[求助] 为什么GL（2，C）是连通的

看了网上很多关于这个问题的解答 其中一句讲有一条路径可使得上三角形矩阵过渡到单位矩阵 这个路径是肿么回事儿呢 希望各位帮忙解决一下这个问题 非常感谢！
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1楼 2012-12-19 16:04:29
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
GL(2, C)是复4维仿射空间中的超曲面的补空间。由于超曲面的实余维数为2，因此挖掉复超曲面不影响连通性。
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彩虹W
5楼2012-12-20 12:30:03
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just_play

至尊木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
彩虹W: 金币+15, ★★★★★最佳答案, 非常感谢！ 2012-12-20 15:18:26
From GTM222
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So Trivial !
2楼2012-12-19 18:46:50
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
其实你只要想想为什么挖去原点的数轴不连通，而挖去原点的复数平面却是连通的，就懂了
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彩虹W
3楼2012-12-19 18:52:27
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
任何矩阵A\in GL(2,C) 可以分解成A=EDF的形式，其中E,F为三角矩阵，D为对角矩阵。这一步通过矩阵变换很容易看出来。你的主要问题三角矩阵为何有条道路通往单位矩阵I可以如下解决：设E=[1,a;0,1], 则E(t)=[1,at;0,1]，t\in [0,1] 是GL(2,C)的一条道路通往I。对角矩阵也是类似的通往I。
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彩虹W
4楼2012-12-20 12:28:11
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彩虹W

银虫 (正式写手)
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3楼: Originally posted by Pchief at 2012-12-19 18:52:27
其实你只要想想为什么挖去原点的数轴不连通，而挖去原点的复数平面却是连通的，就懂了

你讲的这个问题我很明白 但是一旦涉及到矩阵我就蒙了 感觉是这样但是不知道怎么证明 这是为啥呢
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6楼2012-12-20 15:19:37
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彩虹W

银虫 (正式写手)
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引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2012-12-20 12:28:11
任何矩阵A\in GL(2,C) 可以分解成A=EDF的形式，其中E,F为三角矩阵，D为对角矩阵。这一步通过矩阵变换很容易看出来。你的主要问题三角矩阵为何有条道路通往单位矩阵I可以如下解决：设E=, 则E(t)=，t\in  是GL(2,C)的 ...

多谢 应该如此 感觉自己学知识太死板了 无了个奈了
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7楼2012-12-20 15:21:30
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彩虹W

银虫 (正式写手)
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5楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-12-20 12:30:03
GL(2, C)是复4维仿射空间中的超曲面的补空间。由于超曲面的实余维数为2，因此挖掉复超曲面不影响连通性。

好高深啊 我感觉要理解这句话对我来说还得再学习一些 希望以后能多交流
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8楼2012-12-20 15:22:36
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
8楼: Originally posted by 彩虹W at 2012-12-20 15:22:36
好高深啊 我感觉要理解这句话对我来说还得再学习一些 希望以后能多交流...

C上的二阶矩阵不考虑乘法可以写成（a, b, c, d).  （a,b,c,d）属于GL(2, C), 当切仅当 ad-bc 不等于0. ad-bc=0 定义了一个二次的超曲面。因此挖掉该超曲面就是 GL(2, C).
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彩虹W
9楼2012-12-20 22:30:25
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彩虹W

银虫 (正式写手)
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引用回帖:
9楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-12-20 22:30:25
C上的二阶矩阵不考虑乘法可以写成（a, b, c, d).  （a,b,c,d）属于GL(2, C), 当切仅当 ad-bc 不等于0. ad-bc=0 定义了一个二次的超曲面。因此挖掉该超曲面就是 GL(2, C)....

我只能感觉是对的 可是关于二次超曲面我无法想象 不太明白二次超曲面是什么样的 可以介绍一本书吗 多谢
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10楼2012-12-21 17:25:18
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