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至咏

铁虫 (初入文坛)

[求助] 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,求证:r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)

Sample Text
本人大一本科生，求解一道线性代数题
Sample Text
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,求证:r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)
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经世之道心系天下
1楼2012-12-10 22:41:17
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webbery

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
证明在附件里，在附件里，不知道要写几个字才能通过
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2楼2012-12-11 12:18:43
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webbery

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
至咏: 金币+5, ★★★很有帮助, 对于A \\ cap B 的引入还是不太理解，不过提供的答案还是很有帮助 2012-12-11 21:59:21
要证明r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)，即证明r(A+B)+r(AB)<=r(A)+r(B)
显而易见r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(A \cap B) ,即 r(A+B)+ r(A \cap B)<=r(A)+r(B)
其中 r(A \cap B)表示A,B行(列)向量组成的空间之交
此时只要证明r(AB)<= r(A \cap B)即可。

而AB=BA，所以AB可以由A或B任一矩阵的行（列）向量线性表出，所以r(AB)<= r(A \cap B)
证毕
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3楼2012-12-11 12:24:02
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webbery

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

至咏: 回帖置顶 2012-12-12 20:53:12
写错了一行
"r(A \cap B)表示A,B行(列)向量组成的空间之交"
应为
A \cap B表示A,B行(列)向量组成的空间之交
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4楼2012-12-11 12:25:27
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webbery

金虫 (正式写手)
A \cap B解释如下
设A的列向量组成空间 S1，B的列向量组成空间S1，则A \cap B就是这两个空间交的部分，也就是A，B“共有”的那部分向量组成的空间，或者说可以互相线性表出那部分向量组成的空间。

这下
r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(A \cap B)  能理解了吧。理解了这里，后面就能理解了。
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5楼2012-12-12 00:13:12
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