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jklu

铁虫 (正式写手)

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[求助] 求高手帮忙做道高代题目

设A是实n阶方阵，且对任意n维列向量x,都有x'Ax>0,证明|A|>0.

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1楼 2012-11-28 23:53:04

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秋雨飞叶

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【答案】应助回帖

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取可逆矩阵P使得B＝P^-1AP为若当标准型（上三角矩阵）从而问题等价于: 如果对所有列向量X都有 X^tBX>0，那么B的行列式为正。由于B是上三角矩阵，取X_i=(0, ...,0, 1, 0, ...0)^t，其中1在第i个位置，则X_i^tBX_i=b_ii>0. 由此可知 det(A)=det(B)>0.

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7楼2012-11-29 12:38:45

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xuyx_78

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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jklu: 金币+7, ★★★很有帮助 2012-11-29 22:03:11

设a是矩阵A的任一特征值,相应的非零特征向量为Y,则AY=aY.两端左乘Y'得,Y'AY=Y'aY=aY'Y=a||Y||^2.由已知,Y'AY>0,故a||Y||^2>0.又Y是非零的,故||Y||^2>0,所以有a>0.这说明A的全部特征值均大于零,所以|A|>0.

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2楼2012-11-29 08:56:03

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-11-29 08:56:03
设a是矩阵A的任一特征值,相应的非零特征向量为Y,则AY=aY.两端左乘Y'得,Y'AY=Y'aY=aY'Y=a||Y||^2.由已知,Y'AY>0,故a||Y||^2>0.又Y是非零的,故||Y||^2>0,所以有a>0.这说明A的全部特征值均大于零,所以|A|&

如何知道 Y 是实向量而不是复向量呢？

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3楼2012-11-29 10:48:30

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Pchief

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4楼2012-11-29 11:17:56

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