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jklu

铁虫 (正式写手)

[求助] 求高手帮忙做道高代题目

设A是实n阶方阵，且对任意n维列向量x,都有x'Ax>0,证明|A|>0.
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1楼 2012-11-28 23:53:04
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
jklu: 金币+7, ★★★很有帮助 2012-11-29 22:03:11
设a是矩阵A的任一特征值,相应的非零特征向量为Y,则AY=aY.两端左乘Y'得,Y'AY=Y'aY=aY'Y=a||Y||^2.由已知,Y'AY>0,故a||Y||^2>0.又Y是非零的,故||Y||^2>0,所以有a>0.这说明A的全部特征值均大于零,所以|A|>0.
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2楼2012-11-29 08:56:03
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-11-29 08:56:03
设a是矩阵A的任一特征值,相应的非零特征向量为Y,则AY=aY.两端左乘Y'得,Y'AY=Y'aY=aY'Y=a||Y||^2.由已知,Y'AY>0,故a||Y||^2>0.又Y是非零的,故||Y||^2>0,所以有a>0.这说明A的全部特征值均大于零,所以|A|&

如何知道 Y 是实向量而不是复向量呢？
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3楼2012-11-29 10:48:30
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
参考解答（不一定最简单）：
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4楼2012-11-29 11:17:56
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2012-11-29 10:48:30
如何知道 Y 是实向量而不是复向量呢？...

如果特征值是复向量的话,则对应的特征值一定是复数(因为实特特征值对就的求特征向量的方程组是系实系数线性方程组,其解是实向量).这样的复特征值是成对出现的,每一对互为共轭.所以矩阵A的特征值要么为成对出现的共轭复数,要么为实的.如果是实的特征值,由前面的讨论可知实特征值是正的.|A|为A的全体特征值的乘积,而其中成对的复特征值的乘积是正的,所以所以物征值的乘积是正.
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5楼2012-11-29 11:36:18
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jklu

铁虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Pchief at 2012-11-29 11:17:56
参考解答（不一定最简单）：

如何知道a11不为零？如何由归纳假设，有det((A1-a11^-1   *    )>0 ?
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6楼2012-11-29 12:11:35
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
取可逆矩阵P使得B＝P^-1AP为若当标准型（上三角矩阵）从而问题等价于: 如果对所有列向量X都有 X^tBX>0，那么B的行列式为正。  由于B是上三角矩阵，取X_i=(0, ...,0, 1, 0, ...0)^t，其中1在第i个位置，则X_i^tBX_i=b_ii>0. 由此可知 det(A)=det(B)>0.
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7楼2012-11-29 12:38:45
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by jklu at 2012-11-29 12:11:35
如何知道a11不为零？如何由归纳假设，有det((A1-a11^-1   *    )>0 ?...

公式(1) 下面那段话（取z=...）就说明了 a11 > 0，严格说来这句话应该写在公式 (1) 的前面，逻辑就更通顺了。

至于归纳假设的问题，你把“命题对 n-1 成立”这句话详细表达出来就知道了
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jklu
8楼2012-11-29 13:57:05
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jklu

铁虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-11-29 12:38:45
取可逆矩阵P使得B＝P^-1AP为若当标准型（上三角矩阵）从而问题等价于: 如果对所有列向量X都有 X^tBX>0，那么B的行列式为正。  由于B是上三角矩阵，取X_i=(0, ...,0, 1, 0, ...0)^t，其中1在第i个位置，则X_i^tBX ...

取可逆矩阵P使得B＝P^-1AP为若当标准型（上三角矩阵）？似乎在复数域里才可以。
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9楼2012-11-29 19:13:45
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jklu

铁虫 (正式写手)
送鲜花一朵
引用回帖:
8楼: Originally posted by Pchief at 2012-11-29 13:57:05
公式(1) 下面那段话（取z=...）就说明了 a11 > 0，严格说来这句话应该写在公式 (1) 的前面，逻辑就更通顺了。

至于归纳假设的问题，你把“命题对 n-1 成立”这句话详细表达出来就知道了...

10楼2012-11-29 19:14:03
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