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求助拓扑高手！！！反例怎么举？
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求助拓扑高手！！！这道题的证明不用证，想问一下反例应该怎么举？万分感谢！！！ 1.jpg |
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【答案】应助回帖
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qiong2012: 金币+2, ★★★很有帮助 2012-10-14 11:57:53
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最近论坛贴图有点蛋疼，所以直接给例子，不讲解了： 考虑 X = Y = R 为实数空间，度量取通常的，然后规定 f: X -> Y 为 f(x) = sgn(x) - x， 也就是： x>0 时 f(x)= 1-x， x=0时 f(x)=0， x<0 时 f(x)=-1-x。 现在，如果把 X 的子基 S 取为 (-∞, a) 以及 (b,+∞) 这样的开区间全体，其中 a,b 为任意实数。则不难验证对于 S 中的任意元 B ，f(B)为开集。 但 f ( (-1/2, 1/2) ) = (-1,-1/2) ∪(1/2, 1) ∪ {0} 不为开集，因而 f 不为开映射。 |
3楼2012-10-13 15:54:27
