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关于方阵自乘秩不变的证明
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假设A是n阶方阵，秩为r，那么A^2的秩也是r，同理，依次类推，A的自乘的秩不变。如何证明呢？我看了一些文献，有用r(A)>=r(A^2)>=r(A^3)>=......r(A^n+1)>=0这个式子，n+1个不等式，秩最大为n，且为整数，则必有一个等号成立。如果这个等号在最后一步成立，即r(A^n+1)=0易推出矛盾，故等号必在别处成立。 还有一种思路，即必有可逆矩阵P使得PA的前n行线性无关，而后n-r行全部为0；同理，有可逆矩阵Q使得AQ的前n列线性无关，而后n-r列全部为0.但是，这样处理以后形式上简化了，但好像仍然无法证明r(A^2)=r(A).其他有些文献没有看太懂，反正人家是证明出来了。请问有没有简单易懂的证明方法呢？ |
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4楼2012-09-22 09:48:14
