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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一下超维空间曲面的法向怎么求取？
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begtostudy

金虫 (正式写手)

Dr. 白途思

[交流] 请教一下超维空间曲面的法向怎么求取？ 已有2人参与

三维空间曲面的点的法向是两个自变量偏导数的叉积

我想问一下，如果对于y=y(x1,x2,x3...,xn)这样的超曲面，该怎么求法向呢？

[ 来自科研家族 博士乐园 ]
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1楼 2012-07-20 09:22:08
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begtostudy

金虫 (正式写手)

Dr. 白途思
引用回帖:
2楼: Originally posted by tigertooth4 at 2012-07-20 14:00:15
求梯度方向

梯度不是一阶偏导数吗？不是法线方向吧？
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3楼2012-07-21 14:38:10
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leedobb

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
好像你要先定义这个n维曲面如何嵌入n+1维空间，其法向量好像依赖于n+1维空间的定义。

不过应该可以用外微分的方式去求,
\sum_({i1 i2 i3...in} ) \epsilon _{i1 i2 i3...in}  dy/dx_(i1) dy/dx_(ii2) dy/dx_(i3)....dy/dx_(in)

其中{i1 i2 i3...in}为1，2，3...n的一个排列，\epsilon _{i1 i2 i3...in} 依赖于其是否为偶排列还是奇排列。
找本陈省生的微分几何看看吧。我也不太懂。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
4楼2012-07-21 16:18:38
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tigertooth4

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
假设你考虑的是 n 维空间中由

                F(x1,x2,x3,...,xn)=C           (C 为常数)

定义的超曲面 M。那么在超曲面上一点 x = (x1,x2,x3,...,xn) 处的法向量
定义为 梯度：
         
             grad F = (∂F/∂ x1, ...., ∂F/∂ xn)  ∈ R^n.

你可以检查过 x 点并落在超曲面 M 上的任意一条曲线 L, 其在 x 处的切方
向 T 与 grad F 的内积为零，这就用链式法则可以证明。说明 grad F 一定
与 T 的方向垂直。由于 T 可以是任意的切方向，因此 grad F 为法方向。
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5楼2012-07-21 16:43:46
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