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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 微积分基本定理的一种新证法
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马哈立克

新虫 (初入文坛)

[交流] 微积分基本定理的一种新证法 已有7人参与

微积分基本定理无疑是微积分学中最重要的定理之一。
    在这个定理出现之前，求定积分是相当困难的，只有天才才敢于挑战，求定积分毫无系统性可言，有时求定积分根本是天方夜谭，而求定积分对自然科学，以及经济学有着非同寻常的用途。那么怎么办呢？这时微积分的基本定理出现了，它出现以后，求定积分简直是弹指一挥间，这极大的促进了自然科学，以及经济学的发展。
    微积分的基本定理的严格证明就很关键了。很多人认为第一个严格证明微积分基本定理的人是牛顿，其实牛顿只是发现了它，因为在牛顿时代，微积分还没有严格的理论基础，那时牛顿用的还是不严谨的流数思想。真正第一个用微积分严格思想严格证明微积分基本定理的人是法国数学家柯西。
   传统的证明方法用到了中值定理，而中值定理的证明用到了最大最小值定理，而最大最小值定理很多人无法理解。有一种不用中值定理的新证法，这种证法仅用到积分的保序定理，而积分的保序定理的证明很好理解。
   这个证明如下：
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1楼 2012-06-17 20:17:00
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Jackie2011

木虫 (正式写手)
★
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楼上的例外借助二重积分或概率中的正态密度来解决.
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学好外语，不忘数学！
3楼2012-06-17 21:50:47
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
"...这时微积分的基本定理出现了，它出现以后，求定积分简直是弹指一挥间，这极大的促进了自然科学，以及经济学的发展."从理论上说微积分基本定理的结果很漂亮,但实际应用时并不是"弹指一挥间",如在[0,1]上的exp(x^2)的积分就无法用微积分基本定理直接计算出.
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2楼2012-06-17 21:38:25
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普通回帖

马哈立克

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-06-17 21:38:25
"...这时微积分的基本定理出现了，它出现以后，求定积分简直是弹指一挥间，这极大的促进了自然科学，以及经济学的发展."从理论上说微积分基本定理的结果很漂亮,但实际应用时并不是"弹指一挥间" ...

我指的是大多数情况，呵呵
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4楼2012-06-18 04:53:28
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whyhow

铁杆木虫 (著名写手)

带你飞翔
能否说明出处?
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青春有千万种，却没有一种可以重来
5楼2012-06-18 07:33:54
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liweizk

至尊木虫 (知名作家)
★
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楼主从哪里找到的证明，能否指明出处。
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6楼2012-06-18 08:46:53
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
★
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引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2012-06-17 21:50:47
楼上的例外借助二重积分或概率中的正态密度来解决.

呵呵,这里只是讨论微积分基本定理啊,而且这样的例子信手就可以拿来啊,如[0,1]上的sin(x^2),sinx/(x+1),ln(1+x^2)等等,而且微积分基本定理只考虑的是连续函数的定积分计算,但还有许多的函数可积但不连续,这样的的函数的定积分如何计算?(这引出了另一个计算定积分的重要途径---数值积分方法,当然仍然没彻底解决所有的定积分的计算).其实微积分基本定理的另一个重要之处是解决了连续函数是一定存在原函数.
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7楼2012-06-18 09:52:15
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zwy198759

新虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
复变函数的研究基本上就解决了不连续函数的积分问题，还有就是许多用积分定理解不出来的，复变函数都能解，对于数值积分，这个又是一个领域了，像工程数学。这个更切实际吧！个人浅见。
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8楼2012-06-18 11:06:31
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马哈立克

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by whyhow at 2012-06-18 07:33:54
能否说明出处?

网上偶然遇见，你以前没见过？
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9楼2012-06-18 19:47:51
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
记得把微积分基本定理分为微分形式和积分形式的只有龚昇先生的《简明微积分》，你确定这本书没有照搬龚先生的书？
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10楼2012-06-19 16:38:13
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