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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 解一个类似的泊松方程
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leedobb

金虫 (正式写手)

[求助] 解一个类似的泊松方程

e^(-2x)(d^2 f/dx^2 +d^2 f/dy^2 ) = m f
其中m为常数。

要解析的。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
1楼 2012-05-22 15:39:11
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acmuser

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
domain and boundary condition?
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2楼2012-05-22 15:46:32
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acmuser

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

What is the domain and boundary condition of the problem?
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3楼2012-05-22 15:47:00
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by acmuser at 2012-05-22 15:46:32:
domain and boundary condition?

我要的是解析的，不需要boundary，domain整个实数域。

其实若把左边看成算子H*f, H= e^(2x) \nabla^2，其实就是求算子H的特征解及特征值m
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
4楼2012-05-22 15:59:01
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acmuser

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by leedobb at 2012-05-22 15:59:01:
我要的是解析的，不需要boundary，domain整个实数域。

其实若把左边看成算子H*f, H= e^(2x) \nabla^2，其实就是求算子H的特征解及特征值m

and it is e^(-2x), so the problem is not symmetric in x and y?
when you are talking about eigenvalue problem, so m is not a pre-defined number?
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5楼2012-05-22 16:35:33
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leedobb

金虫 (正式写手)
对的，对的
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
6楼2012-05-22 16:49:00
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acmuser

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
leedobb: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-05-23 10:41:33
If you do separation of variables, u=X(x)Y(y), you could obtain Y(y)=exp(iky), and X"(x)/X(x) = mexp(2x)+k^2,
by linearity, we can consider X"(x)/X(x) = m exp(2x) and X"(x)/X(x) separately, for the first equation, the solution is
Bessel(0,sqrt(m)exp(x)) and BesselK(0, sqrt(m)exp(x)), and the second one is exp(k*x),
therefore, a particular solution is
u = exp(iky)*(c1exp(kx)+c2BesselI(0,sqrt(m)exp(x))+c3BesselK(0,sqrt(m)exp(y))
for all m\in R, you need to specify some condition, for example, decay at \infinity to restrict the value of m.
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7楼2012-05-23 00:16:30
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acmuser

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by acmuser at 2012-05-23 00:16:30:
If you do separation of variables, u=X(x)Y(y), you could obtain Y(y)=exp(iky), and X"(x)/X(x) = mexp(2x)+k^2,
by linearity, we can consider X"(x)/X(x) = m exp(2x) and X"(x)/X(x) separ

exp(-kx) term is in the general form of u as well.
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8楼2012-05-23 04:39:04
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by acmuser at 2012-05-23 00:16:30:
If you do separation of variables, u=X(x)Y(y), you could obtain Y(y)=exp(iky), and X"(x)/X(x) = mexp(2x)+k^2,
by linearity, we can consider X"(x)/X(x) = m exp(2x) and X"(x)/X(x) separ

嗯，不错，我也分离变量了，但开始没凑出bessel函数。谢谢谢谢
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
9楼2012-05-23 10:43:15
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leedobb

金虫 (正式写手)
X(x)''/X(x)=mexp(2x)+k^2，好像不线性。我再想想吧。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
10楼2012-05-23 10:57:08
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