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leedobb

金虫 (正式写手)

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[求助] 解一个类似的泊松方程

e^(-2x)(d^2 f/dx^2 +d^2 f/dy^2 ) = m f
其中m为常数。

要解析的。

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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。

1楼 2012-05-22 15:39:11

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

acmuser

银虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

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leedobb: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-05-23 10:41:33

If you do separation of variables, u=X(x)Y(y), you could obtain Y(y)=exp(iky), and X"(x)/X(x) = mexp(2x)+k^2,
by linearity, we can consider X"(x)/X(x) = m exp(2x) and X"(x)/X(x) separately, for the first equation, the solution is
Bessel(0,sqrt(m)exp(x)) and BesselK(0, sqrt(m)exp(x)), and the second one is exp(k*x),
therefore, a particular solution is
u = exp(iky)*(c1exp(kx)+c2BesselI(0,sqrt(m)exp(x))+c3BesselK(0,sqrt(m)exp(y))
for all m\in R, you need to specify some condition, for example, decay at \infinity to restrict the value of m.