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小兰花

银虫 (著名写手)

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[求助] 求解一个微分方程，谢谢。

已知A，B为常数，
求解下面的微分方程(见附图)。
最好可以写出关键步骤，谢谢。

[ Last edited by 小兰花 on 2012-2-9 at 13:55 ]

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1楼 2012-02-09 13:34:08

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soliton923

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soliton923: 回帖置顶 2012-02-09 17:57:36

引用回帖:

10楼: Originally posted by 小兰花 at 2012-02-09 16:23:02:
谢谢版主。
下一步的步骤该如何写呢？

我知道方程是指数形式的解。

when $AB \neq 0$
设 $y^2=t$ ,那么原方程可以变为 $\frac{dt}{dx}=A \sqrt{t}+ B t$
方程变为 $\frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =dx$

两边积分： $\int \frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =\int dx$

化简： $\int \frac{dt}{ \sqrt{t}} \frac{1}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

得到： $2 \int \frac{d\sqrt{t}}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

最后： $\frac{2}{B} \ln{(A+B \sqrt{t})}=x+c$

结论： $A+B y=e^{\frac{B}{2}( x+c)}$

[ Last edited by soliton923 on 2012-2-9 at 16:44 ]

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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method

11楼2012-02-09 16:36:39

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dxwbucea

铁虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这是个二阶常微分方程，并且可以用降阶的方法降阶，之后就能够求解了。
注意原题方程左边的分母dx，应有个指数2次方，即dx^2.

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2楼2012-02-09 14:08:48

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pengyehui

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
soliton923: 欢迎专家回归~~ 2012-02-09 16:14:27

首先 y=0是一个特解，另外
方程可化为
  dy/dx=A-By
dy/(A-By)=dx
1. 如果B=0，方程的解为  y=Ax+C  (C为常数)
2. B不等于0，方程的解为
   ln(A-By)=-Bx+C

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3楼2012-02-09 14:09:18

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dxwbucea

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★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~题目没有错，这个问题比较简单，没有你想的这么复杂，~~欢迎常来数学版 2012-02-09 16:15:10

理论上是可以进行降阶来求的，但是具体到这个题目，方程右边有y的平方，确实不好解。用Mathematica求解后的结果是：

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4楼2012-02-09 14:34:04

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