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小兰花

银虫 (著名写手)

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[求助] 求解一个微分方程，谢谢。

已知A，B为常数，
求解下面的微分方程(见附图)。
最好可以写出关键步骤，谢谢。

[ Last edited by 小兰花 on 2012-2-9 at 13:55 ]

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1楼 2012-02-09 13:34:08

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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长

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soliton923: 回帖置顶 2012-02-09 17:57:36

引用回帖:

10楼: Originally posted by 小兰花 at 2012-02-09 16:23:02:
谢谢版主。
下一步的步骤该如何写呢？

我知道方程是指数形式的解。

when $AB \neq 0$
设 $y^2=t$ ,那么原方程可以变为 $\frac{dt}{dx}=A \sqrt{t}+ B t$
方程变为 $\frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =dx$

两边积分： $\int \frac{dt}{A \sqrt{t}+ B t} =\int dx$

化简： $\int \frac{dt}{ \sqrt{t}} \frac{1}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

得到： $2 \int \frac{d\sqrt{t}}{A+B \sqrt{t}}=x+c$

最后： $\frac{2}{B} \ln{(A+B \sqrt{t})}=x+c$

结论： $A+B y=e^{\frac{B}{2}( x+c)}$

[ Last edited by soliton923 on 2012-2-9 at 16:44 ]