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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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yasima2

金虫 (小有名气)

[求助]

如何证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)在除法内封闭?abc为有理数
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

楼主的公式是:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{25}[/img]
2楼2011-09-24 17:32:56
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

晕菜 这都没法显示?
3楼2011-09-24 17:35:16
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opanane

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒数也具有类似形式,用待定系数法就行。解应该是一个线性方程组,证明一下行列式不为零(没去证,不过应该是和二次判别式等价)。
4楼2011-09-24 17:39:38
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yasima2

金虫 (小有名气)

引用回帖:
4楼: Originally posted by opanane at 2011-09-24 17:39:38:
证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒数也具有类似形式,用待定系数法就行。解应该是一个线性方程组,证明一下行列式不为零(没去证,不过应该是和二次判别式等价)。

不懂....具体步骤有吗?
怎么证明倒数也有类似性质?
5楼2011-09-24 20:40:56
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

因为他们都在有理数Q添加(5)^(1/3)后的扩域中。此域中任意个元素都是这种形式的,所以可逆,也就是除法封闭。
6楼2011-09-25 14:12:45
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

yasima2(金币+2): 2011-09-27 16:07:43
可以这样证明:设,则它在Q上的
最小多项式为,它是Q上的不可约多项式。
于是对于任意的,
a,b,c不全为零,\varphi(x)和f(x)的最大公因式为1。所以用欧氏长除法,存在多项式
,满足

而且g(x),h(x)可以用辗转相除法具体求出。令x=\alpha,就有
7楼2011-09-25 14:42:41
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