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yasima2

金虫 (小有名气)

[求助] 域

如何证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)在除法内封闭?abc为有理数
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1楼 2011-09-24 10:25:48
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
楼主的公式是：
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{25}[/img]
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2楼2011-09-24 17:32:56
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
晕菜 这都没法显示？
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3楼2011-09-24 17:35:16
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opanane

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒数也具有类似形式，用待定系数法就行。解应该是一个线性方程组，证明一下行列式不为零（没去证，不过应该是和二次判别式等价）。
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4楼2011-09-24 17:39:38
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yasima2

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by opanane at 2011-09-24 17:39:38:
证明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒数也具有类似形式，用待定系数法就行。解应该是一个线性方程组，证明一下行列式不为零（没去证，不过应该是和二次判别式等价）。

不懂....具体步骤有吗?
怎么证明倒数也有类似性质?
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5楼2011-09-24 20:40:56
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

因为他们都在有理数Q添加（5）^(1/3)后的扩域中。此域中任意个元素都是这种形式的，所以可逆，也就是除法封闭。
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6楼2011-09-25 14:12:45
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

yasima2(金币+2): 2011-09-27 16:07:43
可以这样证明：设,则它在Q上的
最小多项式为,它是Q上的不可约多项式。
于是对于任意的,
a,b,c不全为零，\varphi(x)和f(x)的最大公因式为1。所以用欧氏长除法，存在多项式
,满足

而且g(x),h(x)可以用辗转相除法具体求出。令x＝\alpha,就有
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7楼2011-09-25 14:42:41
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