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tuzituzi

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1楼 2011-09-24 05:47:37

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olivelady

铁杆木虫 (知名作家)

懒懒虫

应助: 5 (幼儿园)
金币: 9290.3
散金: 5
红花: 6
帖子: 7502
在线: 430.1小时
虫号: 496454
注册: 2008-01-18
性别: MM
专业: 组合数学

引用回帖:

2楼: Originally posted by lizhmath at 2011-09-25 14:25:02:
做变量替换x->pi/2-x,可得

于是
[img]http: ...

佩服佩服！

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4楼2011-09-26 14:08:43

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lizhmath

金虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
应助: 0 (幼儿园)
金币: 3258.3
红花: 2
帖子: 32
在线: 97.1小时
虫号: 928915
注册: 2009-12-15
性别: GG
专业: 数论

【答案】应助回帖

做变量替换x->pi/2-x,可得
$I=\int_0^{\pi/2}\log(\cos x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin x)dx$
于是
$2 I+\int_0^{\pi/2}\log 2 dx=\int_0^{\pi/2}\log(2\sin x\cos x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin 2x)dx\\ =\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx=\frac{1}{2}\left(\int_0^{\pi/2}+\int_{\pi/2}^{\pi} \right )\log(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin x)dx\\ =I$
所以
$I=-\int_0^{\pi/2}\log 2 dx=-\frac{\pi}{2}\log 2.$

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2楼2011-09-25 14:25:02

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