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tuzituzi

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1楼 2011-09-24 05:47:37

已阅关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

lizhmath

金虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
应助: 0 (幼儿园)
金币: 3258.3
红花: 2
帖子: 32
在线: 97.1小时
虫号: 928915
注册: 2009-12-15
性别: GG
专业: 数论

【答案】应助回帖

做变量替换x->pi/2-x,可得
$I=\int_0^{\pi/2}\log(\cos x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin x)dx$
于是
$2 I+\int_0^{\pi/2}\log 2 dx=\int_0^{\pi/2}\log(2\sin x\cos x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin 2x)dx\\ =\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\log(\sin x)dx=\frac{1}{2}\left(\int_0^{\pi/2}+\int_{\pi/2}^{\pi} \right )\log(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}\log(\sin x)dx\\ =I$
所以
$I=-\int_0^{\pi/2}\log 2 dx=-\frac{\pi}{2}\log 2.$