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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 是不是所有的可分度量空间的子空间都是可分的？
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[求助] 是不是所有的可分度量空间的子空间都是可分的？

如题，是不是所有的可分度量空间X的子空间Y都是可分的？我的理解是可分的。原因如下：对于可分的度量空间X，必有一个可数的稠密子集M。对于X的子空间Y，也必有M的子集M1在Ｙ中也是稠密的，所以Ｙ也可分。
请教大虾上述理解是否正确？
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1楼 2011-09-13 16:51:22
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

rainbowguy(金币+10): 2011-09-16 11:13:04
对于可分的度量空间X，必有一个可数的稠密子集M，计M={a(i)}，a(i)的个数是可数个。对每一个正整数k，记以点a为圆心，1/k为半径的开球是B(a,1/k)。由于M在X中稠密，对任意X中的元素x，以及任意正整数k，都存在M中某一个元素a使|x-a|<1/k。所以以每一个a(i)为圆心1/k为半径的圆的并，记为UB(a(i),1/k)就是M的一个覆盖，这样的覆盖对任意k都成立。
对于子空间Y中的任意点y，显然y也属于X，所以必有某一个a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在开球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空间，Y和此开球的交还有其他点(如不然，y就成了子空间Y的一个孤立点，子空间能有孤立点吗?),记为z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起来，这些点至多有可数个，对任意y属于Y，都存在某一个z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一个开球B(a(i),k)中,也就是说|y-z(a(i),k)|<2/k，且他们都是子空间Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。
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比菜鸟强一点点
3楼2011-09-14 00:26:02
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3): 3Q~ 2011-09-17 17:57:48
对于可分的度量空间X，必有一个可数的稠密子集M，计M={a(i)}，a(i)的个数是可数个。对每一个正整数k，记以点a为圆心，1/k为半径的开球是B(a,1/k)。y由于M在X中稠密，对任意X中的元素x，以及任意正整数k，都存在M中某一个元素a使|x-a|<1/k。所以以每一个a(i)为圆心1/k为半径的圆的并，记为UB(a(i),1/k)就是M的一个覆盖，这样的覆盖对任意k都成立。
对于子空间Y中的任意点y，显然y也属于X，所以必有某一个a(i)使得|y-a(i)|<1/k，即y在开球B(a(i),1/k)中，由于Y是子空间，Y和此开球的交还有其他点(如不然，y就成了子空间Y的一个孤立点，子空间能有孤立点吗?),记为z(a(i),k)。把所有的z(a(i),k)收集起来，这些点至多有可数个，对任意y属于Y，都存在某一个z(a(i),k)，使得y和z(a(i),k)在同一个开球B(a(i),k)中,也就是说|y-z(a(i),k)|<2/k，且他们都是子空间Y的元素，所以{z(a(i),k)}是Y的稠密子集。
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比菜鸟强一点点
2楼2011-09-14 00:25:50
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金币+5): 谢谢~ 2011-09-17 17:58:08
一般而言，可分的拓扑空间，其子空间不必可分。但可分的度量空间其子空间必定可分。

但这个命题的证明并不简单。应当注意：当 M 在 X 中稠密时， M ∩ Y 在 Y 中不必稠密。反例有如： X = R^2 为欧氏平面， M 为横纵坐标均为有理数的点全体，显然 M 在 X 中稠。又 Y 为中心在原点，半径为 π 的圆周，则 M ∩ Y 是空集，这是因为假如点 P(x,y) 在 M∩ Y 中，则

根号(x^2+y^2) = π

但上式左边是代数数，右边是超越数，矛盾。因此，M ∩ Y 在 Y 中不稠。


建议由以下步骤来证明这一命题：

(1) 对于 X 的可数稠密子集 M，设 D 为中心在 M 中，半径为有理数的开球全体，则 D 中开球的个数可数，并且 X 中每个开集都是 D 中若干开球的并。

(2) 对于 X 的子空间 Y，令 D' 为形如 B ∩ Y 的集合全体，其中 B ∈ D 。并且，不失一般性可假设 D' 中不含空集。则 D' 也是可数的，且 Y 中每一个开集也能表示为 D' 中若干元素的并集。

(3) 在 D' 的每个元素中取一个点 x ，这种 x 的全体记作 M' 。 则 Y 中每个非空开集必与 M' 有非空的交，于是 M' 在 Y 中稠密。又由于 D' 可数， M' 也是可数的。
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4楼2011-09-14 08:54:53
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by sukiyq at 2011-09-14 00:26:02:
对于可分的度量空间X，必有一个可数的稠密子集M，计M={a(i)}，a(i)的个数是可数个。对每一个正整数k，记以点a为圆心，1/k为半径的开球是B(a,1/k)。由于M在X中稠密，对任意X中的元素x，以及任意正整数k，都存在M中 ...

请教大虾：
1）子空间难道不能有孤立点吗？为什么？
2）z(a(i),1/k): 即子空间Y 与 开球 {|y-a(i)|<1/k} 的交点为什么是可数个？
请大虾赐教啊。
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5楼2011-09-14 08:55:31
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