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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 如何理解 “等价范数定义了相同的拓扑？”
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[求助] 如何理解 “等价范数定义了相同的拓扑？”

如题，对于矢量空间X, 如何理解X上的等价范数在X上定义了相同的拓扑？
请大虾能够详细解释一下 。
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sskkyy rainbowguy

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1楼 2011-07-31 14:32:39
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

rainbowguy(金币+15): 2011-07-31 18:01:39
这是个很好的问题，当初学习的时候也想了好久。大概是这样的：回忆一下拓扑的定义，它是有一系列开集满足一些公理定义的。两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含。对于带范数的空间，所有的开集可以由范数定义的小开球并出来。也就是拓扑是由范数确定的。当两个范数等价时（说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的），那么他们的定义的开集可以互相包含是显然的了。希望对你有所帮助。
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2楼2011-07-31 15:24:59
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
明白了。大虾说的 “两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含”，可不可以这样理解为 ：“A包含B，B包含A，则A=B；就是说两个拓扑等价是说他们的开集相同。”？
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3楼2011-07-31 18:01:25
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

rainbowguy(金币+5): 2011-07-31 19:14:28
对于你的这种情况应该是的，有度量定义的拓扑是很好的拓扑了。
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4楼2011-07-31 18:28:07
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
sskkyy大虾，你说的“ 当两个范数等价时（说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的）”, 小球的半径应该就是范数值了，那当小球延伸或压缩怎么是一样的呢？
这句话，麻烦大虾详细解释一下。
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5楼2011-07-31 19:14:21
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sskkyy

银虫 (正式写手)
送鲜花一朵
不要意思，我这里说的不够精确。你回忆一下两个范数等价的定义，就是任意一个元素的一种范数的夹在另外一个范数的数乘中间。这种数乘其实就是压缩或者是拉伸，很直观的。
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6楼2011-07-31 21:51:51
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
送鲜花一朵
这次明白了，
多谢大虾哈。。。
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7楼2011-08-01 08:24:41
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