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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[求助] 如何理解 “等价范数定义了相同的拓扑?”

如题,对于矢量空间X, 如何理解X上的等价范数在X上定义了相同的拓扑?
请大虾能够详细解释一下 。
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

rainbowguy(金币+15): 2011-07-31 18:01:39
这是个很好的问题,当初学习的时候也想了好久。大概是这样的:回忆一下拓扑的定义,它是有一系列开集满足一些公理定义的。两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含。对于带范数的空间,所有的开集可以由范数定义的小开球并出来。也就是拓扑是由范数确定的。当两个范数等价时(说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的),那么他们的定义的开集可以互相包含是显然的了。希望对你有所帮助。
2楼2011-07-31 15:24:59
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

明白了。大虾说的 “两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含”,可不可以这样理解为 :“A包含B,B包含A,则A=B;就是说两个拓扑等价是说他们的开集相同。”?
3楼2011-07-31 18:01:25
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

rainbowguy(金币+5): 2011-07-31 19:14:28
对于你的这种情况应该是的,有度量定义的拓扑是很好的拓扑了。
4楼2011-07-31 18:28:07
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

sskkyy大虾,你说的“ 当两个范数等价时(说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的)”, 小球的半径应该就是范数值了,那当小球延伸或压缩怎么是一样的呢?
这句话,麻烦大虾详细解释一下。
5楼2011-07-31 19:14:21
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sskkyy

银虫 (正式写手)

送鲜花一朵
不要意思,我这里说的不够精确。你回忆一下两个范数等价的定义,就是任意一个元素的一种范数的夹在另外一个范数的数乘中间。这种数乘其实就是压缩或者是拉伸,很直观的。
6楼2011-07-31 21:51:51
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

送鲜花一朵
这次明白了,
多谢大虾哈。。。
7楼2011-08-01 08:24:41
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