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Danielxu

金虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】Liouville空间中的基

问题如下(见图)：

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1楼 2011-04-17 22:17:10

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jfili

金虫 (正式写手)

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
soliton923: 专家辛苦了~~ 2011-04-18 18:37:57
Danielxu(金币+7): 谢谢！（比较抽象，还是有点不明白，比如N=4时能否给出基的具体形式呢） 2011-04-19 13:45:12
math105(金币+1, 数学EPI+1): 专家辛苦了 2011-04-22 15:42:39

从你给定的基出发，基本上明白你所谓的希尔伯特空间是什么了
不过，这个正则完备基是唯一的吗？如果不唯一，你如何说明基中有哪些对解元不全为零。
如：n=2时，如果设你给定的基就是a,b,c,d四个，则a+b,a-b,c,d单位化之后应该还是原空间的正交基，并且还满足你给定的条件和矩阵对角线上元素不全为零比你给定的基多了一个。所以你问空间的基中有多少个对角线上元素不全为零就没有多大意义了。
你是不是想问：如何来构造这个空间的一个单位正交基啊？
实际上这个基容易构造，只需要找到n维实对称矩阵空间的一组单位正交基（A_i）和n维实反对称矩阵空间的一组单位正交基（B_j）。
由于任一矩阵都可以表示成对称矩阵与反对称矩阵之和的形式，则上面两组基总数一定是n^2个。
根据A_i为对称矩阵的单位正交基可知trac{A_iA_j}=delta_{i,j}，同样trac{B_iB_j}=delta_{i,j}，再根据A_i对称与B_i反对称得trac{A_iB_j}=0
再由所谓的“希尔伯特空间”的维数。令A_i, sqrt(-1)B_j。可以说明上述单位矩阵属于这个空间，个数n^2个，不同的两个正交，满足你给定的式子。