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[交流] 【求助】关于第一类曲线积分的对称性！已有2人参与

对于空间曲线他的对称性是怎么叙述的？？应该怎么理解呢
如空间曲线L由x^2+y^2+z^2=1和x+y+z=1确定则

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1楼 2011-04-14 23:40:01

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Pchief

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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
soliton923: 谢谢专家给虫子们解决问题 2011-04-15 22:51:37
math105(金币+2): 欢迎专家参与讨论。 2011-04-15 23:32:13

这里的所谓对称性是指曲线方程的对称性，如果在一个方程 F(x,y,z)=0 中，把 x 换成 y， y 换成 z ， z 换成 x 之后，方程的形式不变，则说这个方程具有 轮换对称性。

如果一条曲线 L 的方程具有轮换对称性，则可重新选择坐标系使得

(新 x) = z, (新 y) = x, (新 z) =y

显然， L 在新坐标系下的方程仍为原方程，所以

$\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}l=\int_L f(y,z,x)\mathrm{d}l$

同理有
$\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}l=\int_L f(z,x,y)\mathrm{d}l$

以楼主的题目为例，
$\int_L (x+2y)\mathrm{d}l=\int_L (y+2z)\mathrm{d}l=\int_L (z+2x)\mathrm{d}l$

从而
$\int_L (x+2y)\mathrm{d}l=\frac{1}{3}\int_L (x+2y+y+2z+z+2x)\mathrm{d}l=\int_L (x+y+z)\mathrm{d}l=\int_L\mathrm{d}l=|L|=\frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$

[ Last edited by Pchief on 2011-4-15 at 09:41 ]

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2楼2011-04-15 09:39:57

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引用回帖:

Originally posted by Pchief at 2011-04-15 09:39:57:
这里的所谓对称性是指曲线方程的对称性，如果在一个方程 F(x,y,z)=0 中，把 x 换成 y， y 换成 z ， z 换成 x 之后，方程的形式不变，则说这个方程具有 轮换对称性。

如果一条曲线 L 的方程具有轮换对称 ...

答案貌似是零额！
感觉应该用对称性来解

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3楼2011-04-15 23:55:30

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