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【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵已有22人参与
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线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？ 不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是 AB=I 和 BA=I 两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ] 证明见39楼和48楼 [ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ] |
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我10楼已经说过，我要的只是你这些概念的出处。你只要说，是哪本书上讲到你这些概念，谁编的，哪个出版社出的，我自然会找来看。 既然你也说是常识性的东西，不会连个出处都找不到吧？如果没有一本书上提到这些概念，那它们是怎么成为常识的？ 我可以先跟你说我用的是什么教材。我用的是： 《线性代数》李炯生，查建国 编，中国科学技术大学出版社，1989年。 现在轮到你了。老实说，连我用这本书里都没有提到的概念，我不相信知道它的人会有很多，以至于能达到可以称为“常识” 的程度。但我还是愿意听你的，只要你指出出处，你说是常识那就是常识，毕竟常识越多越好。但是如果你不指明出处，只是笼统说什么“到数学专业学的线性代数教材去找”之类的话，那么对不起，我只能认为你在瞎掰。 至于打错字的问题我就不追究你了。谁都会打错，追究起来一万年也没结果。 说了半天，你的意思最后还是归结为证明：满足CB = B 的矩阵 C 是唯一的。好，这步就是关键，我还是要看看你怎么证明。我给的证明里面用到行列式，用到Cramer法则。如果你能不用这些概念，给我弄个纯形式的证明，那你是大牛，我甘当小学生。不然，你的证法就跟我没有本质区别，纯属多此一举。 |
26楼2010-11-05 20:24:46
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27楼2010-11-05 20:35:48
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31楼2010-11-05 21:59:06
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35楼2010-11-05 22:37:00
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由 det A ≠ 0 推出 Ax=0 只有零解，这叫做Cramer法则。这个定理的证明不需要用到矩阵的知识，所涉及的知识完全是行列式的。 证明如下： 设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成 x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0 于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有 0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置 =x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n)) =x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零 =x(j) det A. 由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。 |
36楼2010-11-05 23:00:03
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38楼2010-11-05 23:54:50
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把我所有的回复汇总一下： A和B是同阶方阵，则等式 AB=I 蕴涵 BA=I 的证明 （略有简化） 首先感谢 ykwang 提供思路，虽然没有写出具体证明过程，但对证明的简化有一定帮助，鄙人在此收回26楼最后一句话，并郑重向 ykwang 致歉 首先由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 两边右乘 A 得 ABA = A，移项并分离因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每个列 x 满足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（Cramer法则），即 x = 0，这就是说， BA - I 的每个列都是零，从而得到 BA = I。 Cramer法则（若det A ≠ 0，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解）的证明（只用到行列式知识，不涉及矩阵） 设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成 x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0 于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有 0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置 =x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n)) =x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零 =x(j) det A. 由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。 反例：去掉A 和B是矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I 了 令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如 (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。 X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间 (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... ) a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R 设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为： A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...) B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... ) 通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但 BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。 [ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ] |
39楼2010-11-06 01:35:24