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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】求助，《陶哲轩实分析》书中的一个公里的理解
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limes

新虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】求助，《陶哲轩实分析》书中的一个公里的理解 已有10人参与

公理：设P(n)是关于自然数的一个性质，假设P(0)是真，并假设只要P(n)是真，则P(n++)也是真。那么对于每个自然数n，P(n)都是真。
以上是公里原文。
后面对该公理解释：由于P(0)是真，则P(0++)=P(1)也是真。这里是隐含了一个过渡说明：假设n=0时。
问题：实际情况是0很特殊，即使P(0)是真，也未必能当n=0时，P(0++)=P(1)也是真啊？
帮我解释解释吧，谢谢！
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1楼 2010-09-21 11:11:46
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wormer

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
数学归纳法从二，三开始的也有，还有从任意数开始的。关键是归纳的那一步，也就是由n推导n+1的那一步，如果初始值符合这个n的要求，应该就可以。
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13楼2010-10-01 01:28:08
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hill008

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
这不就是数学归纳法嘛？
1.经验证P(0)为真
2.证明：若P(n)为真，则P(n++)亦为真。
综上所述，P(n)对一切自然数为真。
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2楼2010-09-21 12:09:42
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limes

新虫 (初入文坛)
是归纳法，问题是：我们一般假设第一个值是1，即P(1)为真。但是这里是先假设P(0)为真，这个可行吗？
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3楼2010-09-21 14:31:35
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lizh714285

金虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
这是由于“自然数是否包含0”这一问题造成的。
过去认为自然数是｛1，2，3......｝，是不包括0的。
近来大家共识，自然数集合把0包含了进来。 自然数集合从0开始。

于是数学归纳法也从0开始。

另，数学归纳法（较弱的）可以从任意一个自然数开始。
1）如果命题P对自然数N成立
2）如果从"命题P对自然数M（M>=N）成立"出发,可推出命题P对自然数M+1也成立
那么，命题P对不小于N的自然数成立。

[ Last edited by lizh714285 on 2010-9-21 at 16:51 ]
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4楼2010-09-21 16:45:03
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