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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 【求助】求解形如y''+a*y'^2+by'+c=0 二阶微分方程
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
xu17211(金币+1): 谢谢参与
这问题不需要讨论; 如果b^2-4 ac <0, 在复数域上讨论解析解就可以了;

比如Exp( i a) = cos(a) + i sin(a)

cos(i a) = (exp(a)+exp(-a))/2

这个问题的解析解可以这么表示:
【求助】求解形如y''+a*y'^2+by'+c=0 二阶微分方程
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
11楼2014-08-28 14:26:55
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这个跟上一个本质上是一样的; 不过如果不喜欢处理复数, 可以分别用上面的和这个解:

【求助】求解形如y''+a*y'^2+by'+c=0 二阶微分方程-1
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
12楼2014-08-28 14:38:53
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
2楼: Originally posted by xiegangmai at 2010-08-31 20:04:04
首先将y''+a*y'^2+by'+c=0 二阶微分方程变换为一阶微分方程组的形式
y(1) = y(2);
y(2) = -a * y(1) ^ 2 - b * y(1) - c;

给定具体a、b、c值，可用ode45可求解。
用MATLAB求不了解析解。

这种思路非常好;
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
13楼2014-08-28 17:33:09
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
引用回帖:
3楼: Originally posted by xu17211 at 2010-08-31 22:33:05
如果不应用matlab进行求解，请问大家能给出合理的解析解的思路吗？

xiegangmai 的方法求解析解就对了
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
14楼2014-08-28 17:33:36
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★ ★ ★ ★ ★
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feixiaolin: 金币+4 2014-12-24 20:15:45
令u=dy/dx ,y''=du/dx=du/dy*dy/dx=u*du/dy ,
代入原方程中得：u*du/dy+a*u^2+b*u+c=0
u*du/{u^2+b/a*u+c/a}=-a*dy
[u-b/(2*a)+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)}=-a*dy
[u+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)})-b/(2*a)*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+c/a-b^/(4*a^2)}=-a*dy
[u+b/(2*a)]*du/{[u+b/(2*a)]^2*u+(4*a*c-b^2)/(4*a^2)}
    -b/(2*a)*d[u+b/(2*a)]/{[u+b/(2*a)]^2*u+(4*a*c-b^2)/(4*a^2)}=-a*dy
讨论：
（1）4*a*c-b^2=0
  Ln[u+b/(2*a)] +b/(2*a)/[u+b/(2*a)]=C-a*y   ，C为积分常数。
Ln[y'+b/(2*a)] +b/(2*a)/[y'+b/(2*a)]=C-a*y

（2）4*a*c-b^2>0 ,令[4*a*c-b^2]/(4*a^2)=β^2
1/2*Ln{[u+b/(2*a)]^2+β^2} + Arctg{[u+b/(2*a)]/β}/β=C-a*y
1/2*Ln{[y'+b/(2*a)]^2+β^2} + Arctg{[y'+b/(2*a)]/β}/β=C-a*y

(3) 4*a*c-b^2<0 ,令[4*a*c-b^2]/(4*a^2)=-β^2
  (2*a*β-b)/(4*a*β)*Ln{[u+b/(2*a)]-β}+ (2*a*β+b)/(4*a*β)*Ln{[u+b/(2*a)]+β}=C-a*y
(2*a*β-b)/(4*a*β)*Ln{[y'+b/(2*a)]-β}+ (2*a*β+b)/(4*a*β)*Ln{[y'+b/(2*a)]+β}=C-a*y

无论如何，得出的降阶方程是一个非线性方程，过于复杂了，求不出解析解，只能求数值解了。
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15楼2014-12-24 18:54:37
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