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shenswatch

新虫 (初入文坛)

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[交流] 【求助】如何证明hausdorff空间X的任意多个紧子集之交也是紧的已有4人参与

设X是hausdorff空间，则X的任意多个紧子集之交也是紧的。
也许有点简单，还是请能人帮助证一下

[ Last edited by javeey on 2010-6-18 at 15:13 ]

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1楼 2010-06-18 13:49:29

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dye

木虫 (小有名气)

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★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
小雨萌萌(金币+3):谢谢解答 2010-06-24 15:42:15

主要是证明hausdorff space 中的紧集是闭集就可以了.

设Y是Hausdorff 空间X的任一紧集，证明X-Y是开集，即要证明：任给X-Y中一点x_0，存在x_0的一个完全包含在X-Y中的邻域。

设y是Y中任意一点。因为X是Hausdorff空间，存在x_0和y的不交邻域V_y和U_y: V_y包含x_0, U_y包含y。取遍Y中所有的点y，{U_y|y为Y中的点}是Y的一个开覆盖。

由于Y是紧集，{U_y}有一个有限子覆盖{U_1,U_2,...,U_n}.

所有U_i，i=1,2...,n，的并集是X的一个开集，记作为U. 因为所有的U_i构成Y的一个覆盖，所以U包含Y。

所有V_i, i=1,...,n, 的交集是一个开集，记为V.

则U和V是不交的，且V包含x_0。所以V就是x_0的一个包含在X-Y中的邻域。因此X-Y是开集。

[ Last edited by dye on 2010-6-23 at 04:54 ]