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lxjjdm

银虫 (小有名气)

[交流] 【求助】一道关于导数高数题【已解决】 已有9人参与

已知对任意 x,y>0 有f(xy)=f(x)+f(y) 且 f'(1)=1 (即函数 f 在1处的导数等于1)，求 f(x)。

[ Last edited by javeey on 2010-5-10 at 22:10 ]
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1楼 2010-05-09 22:36:35
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★ ★
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javeey(金币+1):谢谢提供帮助 2010-05-09 23:15:09
f(x)=lnx
如果限制f(x)为R+上的连续函数，则是唯一的，详见对数函数的公理化定义
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So Trivial !
2楼2010-05-09 22:57:33
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liweizk

至尊木虫 (知名作家)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+1):谢谢提供帮助，欢迎常来数学版参与交流 2010-05-10 21:34:08
因为f(x)=f(x)+f(1),故f(1)=0.
利用导数定义,可得f(x)的导数等于1/x,积分后即可求解.
赞一下(2人) 回复此楼
3楼2010-05-10 06:59:58
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jiahl

金虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
f(x)=lnx.因为把自变量相乘变为函数值相加的函数是对数函数。
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业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随
4楼2010-05-10 07:45:21
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zeyongli

木虫 (正式写手)

新物种-小木虫
都搞定了啊
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生活是首歌，要绝对唱响！！！
5楼2010-05-10 08:10:21
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回头太难
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6楼2010-05-10 08:32:11
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sharecool

金虫 (正式写手)
现在数学作业也来上着求解了？
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7楼2010-05-10 08:56:19
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ahlian110

★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
去年还考了~现在都忘记了~
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8楼2010-05-10 09:05:08
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luomingqi

木虫 (正式写手)
二楼说的没错，支持一下
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跟踪
9楼2010-05-10 10:02:21
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fyq98

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
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javeey(金币+2):解释的很好 2010-05-10 22:10:56
虽已解决，再说两句：这个函数是怎么求出来的？
事实上，由所给函数的性质易得
(1)f(1)=0;
(2)f'(x)=lim(f(x+y)-f(x))/y
          =lim (f(x(1+y/x))-f(x1))/y
          =lim[f(1+y/x)-f(1)]/y
          =1/x

所以可知f(x)=lnx
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克难奋进
10楼2010-05-10 22:07:37
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