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yuxihu铜虫 (小有名气)
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【求助】一个微积分的问题
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若 f(x,y)=o(x^2+y^2), 能否得到 f(x,y)=o(xy)? 这里o 代表低阶无穷小量 注： 本来认为 xy 和 x^2+y^2 都是二阶量，看上去上述结果显然，却感觉不对，请告诉指教 [ Last edited by javeey on 2010-3-30 at 09:00 ] |
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yuxihu(金币+4):恩，多谢啦 2010-03-27 22:09
bluesine(金币+3):谢谢完整解答@ 2010-03-29 11:37
yuxihu(金币+4):恩，多谢啦 2010-03-27 22:09
bluesine(金币+3):谢谢完整解答@ 2010-03-29 11:37
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那个例子中所有的lim都是沿着曲线x=t,y=t^4方向的，而我想说明的是：即使lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0，也推不出f(x,y)=o(xy) 另举一个例子： 令f(x,y)=(x^2+y^2)^2,则对x,y趋于零的任意路径必有lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=x^2+y^2=0，但此时在不同方向上lim{f(x,y)/(xy)}有不同的值，特别地：沿着曲线x=t,y=t^6趋于零的方向上有lim{(xy)/f(x,y)}=0，故在这个方向上有xy=o(f(x,y))。 所以在f(x,y)的形式不确定的情况下仅由f(x,y)=o(x^2+y^2)甚至无法保证极限lim{f(x,y)/(xy)}在任何方向都存在，也就更无从谈起f(x,y)=o(xy)了 |
4楼2010-03-27 20:55:31
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2楼2010-03-27 19:21:04
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3楼2010-03-27 20:09:22