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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】一个微积分的问题
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yuxihu

铜虫 (小有名气)

[交流] 【求助】一个微积分的问题

若 f(x,y)=o(x^2+y^2), 能否得到 f(x,y)=o(xy)?   这里o 代表低阶无穷小量


注： 本来认为 xy 和 x^2+y^2 都是二阶量，看上去上述结果显然，却感觉不对，请告诉指教

[ Last edited by javeey on 2010-3-30 at 09:00 ]
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1楼 2010-03-27 18:56:45
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★
yuxihu(金币+1):谢谢参与
不能吧
比如：令f(x,y)=x*(y^0.5)且x=t,y=t^4,则有：
当t为无穷小量时，lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0而lim{f(x,y)/(xy)}趋于无穷，所以此时有f(x,y)=o(x^2+y^2)但xy=o(f(x,y))
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So Trivial !
2楼2010-03-27 19:21:04
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yuxihu

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2010-03-27 19:21:04:
不能吧
比如：令f(x,y)=x*(y^0.5)且x=t,y=t^4,则有：
当t为无穷小量时，lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0而lim{f(x,y)/(xy)}趋于无穷，所以此时有f(x,y)=o(x^2+y^2)但xy=o(f(x,y))

谢谢，但是上例中，lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0 对吗，这个极限有可能不存在啊   我觉得这个命题不对，但是总是有些矛盾，因为两个都是二阶的，而且老师讲课时，好像对二者不加区别
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3楼2010-03-27 20:09:22
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★ ★ ★
yuxihu(金币+4):恩，多谢啦 2010-03-27 22:09
bluesine(金币+3):谢谢完整解答@ 2010-03-29 11:37
引用回帖:
Originally posted by yuxihu at 2010-03-27 20:09:22:

谢谢，但是上例中，lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0 对吗，这个极限有可能不存在啊   我觉得这个命题不对，但是总是有些矛盾，因为两个都是二阶的，而且老师讲课时，好像对二者不加区别

那个例子中所有的lim都是沿着曲线x=t,y=t^4方向的，而我想说明的是：即使lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=0，也推不出f(x,y)=o(xy)

另举一个例子：

令f(x,y)=(x^2+y^2)^2,则对x,y趋于零的任意路径必有lim{f(x,y)/(x^2+y^2)}=x^2+y^2=0，但此时在不同方向上lim{f(x,y)/(xy)}有不同的值，特别地：沿着曲线x=t,y=t^6趋于零的方向上有lim{(xy)/f(x,y)}=0，故在这个方向上有xy=o(f(x,y))。

所以在f(x,y)的形式不确定的情况下仅由f(x,y)=o(x^2+y^2)甚至无法保证极限lim{f(x,y)/(xy)}在任何方向都存在，也就更无从谈起f(x,y)=o(xy)了
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So Trivial !
4楼2010-03-27 20:55:31
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