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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 再次求助！求大家帮我找一个a的值出来！谢谢大家 求大家了！
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)

[交流] 再次求助！求大家帮我找一个a的值出来！谢谢大家 求大家了！

选取一个a让这个方程的6个解都是实数

[ Last edited by Doctorcbw on 2009-12-23 at 20:05 ]
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1楼 2009-12-21 12:08:45
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
formleaf(金币+1,VIP+0):谢谢你的努力 12-21 19:38
这个好难吧，5次方程都没辙了，6次方程

如果只要求有一组解的话，这样试试：
假设方程有解xi=i(i=1,...6)
则有P(x)=∏(x-xi) (i=1,...6),将P(x)与你的原方程比较系数，可以得到一个线性方程组，再求解应该是很easy的了

[ Last edited by bluesine on 2009-12-21 at 14:15 ]
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2009-12-21 13:48:39
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)
引用回帖:
Originally posted by bluesine at 2009-12-21 13:48:
这个好难吧，5次方程都没辙了，6次方程

如果只要求有一组解的话，这样试试：
假设方程有解xi=i(i=1,...6)
则有P(x)=∏(x-xi) (i=1,...6),将P(x)与你的原方程比较系数，可以得到一个线性方程组 ...

希望你能求出你的这种情况的解哦 谢谢
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3楼2009-12-21 14:20:34
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)
n1 = 9;
n2 = -12;
n3 = 5/4;
n4 = 60;
n5 = 2;
n6 = 8;
我得到4个实数解，但是还有一对虚数解，大家帮帮忙啊！
{t -> -1.55132}, {t -> -1.02486}, {t -> 0.139245}, {t ->
   0.576153 - 1.06891 I}, {t -> 0.576153 + 1.06891 I}, {t -> 1.2077}}
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4楼2009-12-21 15:36:51
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★ ★ ★ ★
Doctorcbw(金币+5,VIP+0):谢谢 1-13 21:46
expand((x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+5)*(x+6))
ans =
x^6+21*x^5+175*x^4+735*x^3+1624*x^2+1764*x+720
This reduce to:
-n1-n3 =720
2 n1 + n2 + 6 n3 + n4=1764
-2 n1 - 4 n2-18 n3=1624
8 n2 + 32 n3 + n5=735
-8 n2 - 36 n3 -n6=175
4 n2 + 24 n3 + 2 n6=21
-8 n3 - 2 n6=1

so
there are 7 eqations and only 6 variable,and thus possible may has no root,even for a general case,it is difficult to find such an seqence n1,...n6.
GOOD LUCK TO YOU.

Appendix:
for a general case,suppose P(x)=Product(x-xi),i=1-6,expand as in power of x,gives
P(x)=b0+b1x+...+b6x^6,and Almost the same linear eqation(rhs are not the same),
-n1-n3 =b0
2 n1 + n2 + 6 n3 + n4=b1
-2 n1 - 4 n2-18 n3=b2
8 n2 + 32 n3 + n5=b3
-8 n2 - 36 n3 -n6=b4
4 n2 + 24 n3 + 2 n6=b5
-8 n3 - 2 n6=b6
Pitifully,it probably has no nontrival solution either.
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板凳要做十年冷文章不发一个字
5楼2009-12-21 15:48:46
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)
引用回帖:
Originally posted by bluesine at 2009-12-21 15:48:
expand((x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)*(x+5)*(x+6))
ans =
x^6+21*x^5+175*x^4+735*x^3+1624*x^2+1764*x+720
This reduce to:
-n1-n3 =720
2 n1 + n2 + 6 n3 + n4=1764
-2 n1 - 4 n2-18 n3=1624
8 n2 + 32 n3  ...

找不到么？  你的方法我用了  
我现在找打了4个实数解
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6楼2009-12-21 15:53:46
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)
7楼2009-12-21 17:54:32
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hellogod

木虫 (正式写手)

是这样的吗？

★ ★ ★ ★
formleaf(金币+1,VIP+0):先鼓励一下 12-21 19:38
Doctorcbw(金币+3,VIP+0):谢谢 1-13 21:47
看到问题的第一想法是能不能用线性代数做。想了一下觉得联系不起来。接下来看到实数二字，这样就有了如下解法。从反面来看我们可以假设所有的解的形式都为复数形式：x=u+vi，代入方程，将其分为实部和虚部两部分。令虚部为0，得到一个方程。在这个方程里有一个未知数，正好可以得到唯一的解。据我所知，matlab的多项式能直接用于复数。因此用matlab求解应该没有问题。
谢谢大家的观看。
解法及证明到此结束。
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8楼2009-12-21 19:10:05
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Doctorcbw

木虫 (职业作家)
引用回帖:
Originally posted by hellogod at 2009-12-21 19:10:
看到问题的第一想法是能不能用线性代数做。想了一下觉得联系不起来。接下来看到实数二字，这样就有了如下解法。从反面来看我们可以假设所有的解的形式都为复数形式，将其分为实部和虚部两 ...

：x=u+vi，代入方程



：x=u+vi，代入方程这个只能判定方程有实根，不能评定所有的跟都是实根！
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9楼2009-12-21 20:04:18
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hellogod

木虫 (正式写手)

是这样的吗？

说明一下，设的根是任意复数的。实数是复数的特殊形式，用复数形式代入，最后令虚部为0，注意这是恒成立的。也就是说a取定满足条件的值时，注定没有虚部不为0的复数解。这就从根本上得到了它的所有解都只可能是实数。因为无论解是什么样的，由于系数的限定关系，使所有可能的复数解的虚部为0，那么它所有的解只能是实数。
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10楼2009-12-21 20:20:05
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