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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】有人知道怎么利用自然数的定义证明1+1=2吗？
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lca3037

铁杆木虫 (著名写手)
★
formleaf(金币+1,VIP+0):谢谢你的细心指正！ 11-23 07:46
引用回帖:
Originally posted by duxueju at 2009-11-22 18:25:
好,如果我们假设1+1不等于2,那么不等式两端同减去1,就有1不等于1成立,显然这是荒谬的,那么只能说明我们的假设是不对的,这就说明1+1不可能不等于2,从而命题得证

这个我就看不懂了，假设了1+1不等于2，那么2-1=1会成立麽
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11楼2009-11-22 23:53:52
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happyness7783

铁虫 (初入文坛)

duxueju的回帖是不负责任的

★
Doctorcbw(金币+1,VIP+0):谢谢参与，希望看到你自己的意见 12-8 09:13
duxueju   这个问题不是逻辑问题  不能这样证明
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12楼2009-12-07 21:42:48
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happyness7783

铁虫 (初入文坛)

首先说明duxueju的错误

★ ★
小雨萌萌(金币+2):谢谢讨论，数学需要你 2010-03-27 19:47
好,如果我们假设1+1不等于2,那么不等式两端同减去1,就有1不等于1成立,显然这是荒谬的,那么只能说明我们的假设是不对的,这就说明1+1不可能不等于2,从而命题得证
**********由于减法定义为加法的逆运算，因此，若无法证明1+1等于2 ，则同理不能说明2-1=1，所以duxueju得论证其实是循环论证  因此是错的
另外，6楼斑竹的证明是正确的   安定理照猫画虎即可证明
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13楼2009-12-14 20:33:23
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lgx8835

铁杆木虫 (正式写手)
怀特海和罗素的定理没看明白，主要是符号看不懂。
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14楼2009-12-14 21:03:58
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sleeper2

新虫 (初入文坛)
★ ★
javeey(金币+1):谢谢参与，鼓励一下新虫 2010-03-27 08:49
小雨萌萌(金币+1): 2010-03-27 19:46
证明分4步：

1. 定义自然数 1.
2. 定义任意自然数 n 的后继为 n + 1
3. 定义自然数 1 的后继为 2.
4. 由前三条， 我们得到 1＋1 ＝ 2

注：
前两条属于皮亚洛公理。
第3条是人为定义。
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15楼2010-03-27 04:34:38
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javeey

荣誉版主 (职业作家)

力拔山兮气盖世

优秀版主优秀版主
引用回帖:
Originally posted by sleeper2 at 2010-03-27 04:34:38:
证明分4步：

1. 定义自然数 1.
2. 定义任意自然数 n 的后继为 n + 1
3. 定义自然数 1 的后继为 2.
4. 由前三条， 我们得到 1＋1 ＝ 2

注：
前两条属于皮亚洛公理。
第3条是人为定义。

证明的很好！思路清晰，有说服力
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早起的鸟儿有虫吃，早起的虫儿被鸟吃
16楼2010-03-27 09:01:44
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lizh714285

金虫 (小有名气)
★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3):源于教材，高于教材 2010-03-27 19:46
1+1=2, 不是需要证明的。

数学体系首先约定了自然数集合的定义——有自然数1； 每个自然数有后继，且可对后继命名分辨。（1的后继命名为2，2的后继是3等等）

加法不过是一种算法，虽然是最自然的一种算法，但它终究是一种算法。（对某集合的两个元施行，而得到第三个元的“映射”）

在自然数集合上定义的加法，可以归纳为： n+1 =(n的后继)；  n+(m的后继）=（n+m）的后继. 两条基础规则。
在整数、有理数、无理数、复数等集合上的加法算法，是在自然数集合上加法算法的推广。

由此可见，1+1=2是加法的算法定义（按第一项规则，作为普通成员的自然数1，加上第一项规则特指的自然数1，等于作为普通成员自然数1的后继，即等于2）。

加法算法是一种广泛到不能再广泛的算法了，但它终究是一种算法，就像是一种模型，谁都可以用，到处可以用。

[ Last edited by lizh714285 on 2010-3-27 at 17:06 ]
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17楼2010-03-27 10:38:23
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lizh714285

金虫 (小有名气)
补充，加法基础规则还要加上：交换律成立一条。
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18楼2010-03-27 10:43:29
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iceflame

金虫 (初入文坛)
★
小雨萌萌(金币+1):谢谢提供材料。 2010-03-28 11:51
建议楼主看看公理化集合论的书，像这些问题只有从公理化的角度才能给出一个无懈可击的解答，1+1=2，里面涉及什么是1，什么是+。而这些只有从公理出发才能定义。
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19楼2010-03-28 11:50:38
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