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hwzsx2006

铁虫 (小有名气)

[交流] 【求助】急求一道几何题的证明方法

已知，如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF相交于点O。求证：AD=AO.
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1楼 2009-09-30 08:58:24
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老虎大王

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
hwzsx2006(金币+5):谢谢参与
fegg7502(金币+1,VIP+0):多谢 9-30 16:16
fegg7502(金币+1,VIP+0):再问老虎大王有没有兴趣做我们的专家？ 9-30 16:18
这个还不容易。
一，易证三角形DCF与CBE全等。也就是角CDF（即角CDO)等于角ECB（或称OCF）。

二，因为角OCF＋角DCO＝90度，那么，角CDO＋角DCO＝90度，也就是说，角COD等于90度。也就说，CO与DF垂直。

三，做辅助线，找到线段CD的中点（比如说G），将其与A连接，显然易证AG与CE平行，设AG与DF相交于H点，因为GH平行于CO，CO垂直于DF，所以GH也垂直于DF，即AH垂直于DF。又因为GH平行于CO，且G是CD的中点，所以H是DO的中点。

四，因为AH垂直于DF，又H是DO的中点，所以ADO必是等腰三角形（或者说三角形ADH与AOH全等）。证毕。
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2楼2009-09-30 12:28:56
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hopetravel

铁杆木虫 (职业作家)

小人物
★
hwzsx2006(金币+5):谢谢参与
几何好久没碰了，都忘了，帮顶啊，呵呵

[ Last edited by hopetravel on 2009-10-3 at 16:34 ]
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3楼2009-10-03 16:27:25
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253931617

木虫 (小有名气)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
fegg7502(金币+2,VIP+0):thank you very much! 10-4 18:43
取AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，令A为（0，0），B为（1，0），D为（0，1），C为（1，1）
所以E（0.5，0），F（1，0.5）
所以DF为y=-0.5x+1，CE为y=2x-1，
所以焦点O为（0.8，0.6）
所以，AO=根号下（0.64+0.36）=1=AD
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4楼2009-10-03 17:39:06
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xyzq1111

铁虫 (小有名气)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
fegg7502(金币+2,VIP+0):thank you very much! 10-4 18:44
引用回帖:
Originally posted by hwzsx2006 at 2009-9-30 08:58:
已知，如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF相交于点O。求证：AD=AO.
  

设正方形边长为a
1、根据中点可以证明△DCF≌△CBE
       => DF⊥CE
       => △DOC∽△DCF
       =>DO/DC=DC/DF;DF可以根据勾股定理计算出来,即可计算出DO
2、 ∠ADF=∠DFC;
      在直角三角形DCF中计算出∠DFC的余弦；
3、在三角形ADO中用余弦定理即可计算出AO=a

   => AO=AD

[ Last edited by xyzq1111 on 2009-10-3 at 18:14 ]
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Thegreastgloryinlivingliesnotinneverfailing,butinrisingeverytimewefall.---Mandela http://www.lu-chen-composite.cn/
5楼2009-10-03 18:03:45
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xyzq1111

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by 253931617 at 2009-10-3 17:39:
取AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，令A为（0，0），B为（1，0），D为（0，1），C为（1，1）
所以E（0.5，0），F（1，0.5）
所以DF为y=-0.5x+1，CE为y=2x-1，
所以焦点O为（0.8，0.6）
所以，AO=根号下（0.64+0 ...

好方法~~
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Thegreastgloryinlivingliesnotinneverfailing,butinrisingeverytimewefall.---Mandela http://www.lu-chen-composite.cn/
6楼2009-10-03 18:05:17
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