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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教陈维桓《微分流形初步》上的一个问题
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)

[求助] 请教陈维桓《微分流形初步》上的一个问题已有1人参与

陈维桓《微分流形初步》第二版第二章第2节第62页划线的这个地方（图1）没看明白。按照定义，函数f,g在点x处光滑是指存在坐标卡(V1,φ1)和(V2,φ2)，使得 f◦φ1^{-1} 在点 φ1(x) 光滑， g◦φ2^{-1} 在点 φ2(x) 光滑。但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集（图2），又如何判断 f+g, f·g 是否在点x光滑呢？

图1：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110813.png
图2：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110923.jpg

（手机端和网页端都发不出图片，只能放图床链接了。。。）
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1楼2022-02-05 11:11:07
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)
图2标错了，不是φ1(x), φ2(x), 而是φ1(V1), φ2(V2), 抱歉。。。
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2楼2022-02-05 11:15:45
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

不是你这么考虑的. f 和 g 有各自的定义域, 都是 x 的开邻域, 那么 f+g 与 fg 的定义域就是两个定义域之交, 依然还是 x 的某个开邻域, 肯定非空. 这样问题就转变成了定义在 x 的某个开邻域上的函数 (f+g 与 fg) 是否光滑的问题. 这个问题当然是可以问的.
这里面只涉及一个坐标卡. 你考虑的可能是光滑性是否依赖坐标卡的选取的问题, 这是另一个问题, 而且回答是与坐标卡的选取无关. 所以考虑光滑性的时候只要有一个坐标邻域就可以了, 不需要考虑多个.
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寒竹墨轩
3楼2022-02-11 00:58:23
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by weft at 2022-02-11 00:58:23
不是你这么考虑的. f 和 g 有各自的定义域, 都是 x 的开邻域, 那么 f+g 与 fg 的定义域就是两个定义域之交, 依然还是 x 的某个开邻域, 肯定非空. 这样问题就转变成了定义在 x 的某个开邻域上的函数 (f+g 与 fg) 是否 ...

谢谢你的回答。我的意思是，尽管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集。这个问题我后来问了老师，他给我看了陈省身《微分几何讲义》第二版第九页下面的脚注（照片发不出来。。。），按照这段脚注，对任意容许的坐标卡(U,φ_U), 当U交V非空时，f?φ_U^{-1}都在φ_U(U∩V)上光滑，才能说f在V上光滑，因此在我问的问题中，即使φ1(V1)与φ2(V2)相交可能为空集，f?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上仍是有定义的，且是光滑的，这样一来(f+g)?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上就是光滑的，因此f+g是光滑的。

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4楼2022-02-11 05:21:36
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 寒竹墨轩 at 2022-02-11 05:21:36
谢谢你的回答。我的意思是，尽管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集。这个问题我后来问了老师，他给我看了陈省身《微分几何讲义》第二版第九页下面的脚注（照片发不出来。。。），按照这段脚注，对 ...

那个?本来是中间一个圈，就是复合的意思，不知怎么发出来就成一个问号了。。。

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5楼2022-02-11 05:23:58
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4脗楼: Originally posted by 潞庐脰帽脛芦脨霉 at 2022-02-11 05:21:36
脨禄脨禄脛茫碌脛禄脴麓冒隆拢脦脪碌脛脪芒脣录脢脟拢卢戮隆鹿脺V1潞脥V2脧脿陆禄路脟驴脮拢卢碌芦娄脮1(V1)潞脥娄脮2(V2)脧脿陆禄驴脡脛脺脦陋驴脮录炉隆拢脮芒赂枚脦脢脤芒脦脪潞贸脌麓脦脢脕脣脌脧脢娄拢卢脣没赂酶脦脪驴麓脕脣鲁脗脢隆脡铆隆露脦垄路脰录赂潞脦陆虏脪氓隆路碌脷露镁掳忙碌脷戮脜脪鲁脧脗脙忙碌脛陆脜脳垄拢篓脮脮脝卢路垄虏禄鲁枚脌麓隆拢隆拢隆拢拢漏拢卢掳麓脮脮脮芒露脦陆脜脳垄拢卢露脭 ...

脣隆脦脪脰卤脩脭, 脛茫戮玫碌脙脠脣脦陋碌脛脭录露篓(脢茅脡脧碌脛陆脜脳垄)脮忙碌脛脛脺陆芒戮枚脛茫碌脛脦脢脤芒脗冒? 脛脟赂枚陆脜脳垄碌脛卤戮脰脢脰禄脢脟脦陋脕脣脣碌禄掳路陆卤茫露酶脪脩, 虏垄虏禄脢脟脦脢脤芒碌脛鹿脴录眉脣霉脭脷. 脪媒脫脙脛脟赂枚陆脜脳垄脰禄脢脟脩脷赂脟脕脣脛茫碌脛脦脢脤芒露酶脪脩.
Ok, 禄脴碌陆脛茫碌脛脦脢脤芒卤戮脡铆. 脦脪戮玫碌脙脛茫脣脝潞玫脙禄脫脨脮忙脮媒脌铆陆芒脭玫脙麓驴录虏矛脪禄赂枚潞炉脢媒碌脛鹿芒禄卢脨脭. 脟掳脙忙脦脪脣碌脕脣, 脮芒脌茂脙忙脰禄脨猫脪陋脪禄赂枚脳酶卤锚驴篓戮脥脨脨脕脣, 露酶脟脪脠脦脪芒脪禄赂枚戮脥脨脨, 录脠脠禄脠莽麓脣, 脛脟脙麓戮脥掳脩脮芒赂枚脳酶卤锚驴篓脠隆脦陋 f 脫毛 g 碌脛露篓脪氓脫貌脰庐陆禄录麓驴脡. 脭脷脮芒脡脧脙忙驴录脗脟鹿芒禄卢脨脭戮脥脨脨脕脣.
脮芒赂枚脢脗脟茅脩鹿赂霉戮脥虏禄脨猫脪陋脡忙录掳脕陆赂枚脳酶卤锚驴篓. f 脫毛 g 赂梅脳脭碌脛露篓脪氓脫貌脭脷脮芒脌茂脰禄脢脟脫脙脌麓脠隆陆禄录炉露酶脪脩, 卤冒脦脼脣眉脫脙. 露酶脛茫碌脛脧毛路篓脢脟脧毛路脰驴陋驴录脗脟 f 脫毛 g 脭脷赂梅脳脭碌脛露篓脪氓脫貌(脫鲁脡盲碌陆脜路脢陆驴脮录盲脰庐潞贸驴脡脛脺虏禄脧脿陆禄) 脡脧碌脛鹿芒禄卢脨脭, 脢脟掳脩脤玫录镁脫脙脭脷脕脣麓铆脦贸碌脛路陆脧貌脡脧, 脣霉脪脭虏脜虏煤脡煤脕脣脛茫脛脟赂枚脣脝脢脟露酶路脟碌脛脪脡脦脢. 脮媒脠路碌脛脳枚路篓脫娄赂脙脢脟脪禄脡脧脌麓戮脥掳脩露篓脪氓脫貌脠隆陆禄录炉, 露酶虏禄脢脟路脰驴陋驴录脗脟.
脛茫脭脵脳脨脧赂脧毛脧毛?
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6楼2022-02-11 09:54:19
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by weft at 2022-02-11 09:54:19
恕我直言, 你觉得人为的约定(书上的脚注)真的能解决你的问题吗? 那个脚注的本质只是为了说话方便而已, 并不是问题的关键所在. 引用那个脚注只是掩盖了你的问题而已.
Ok, 回到你的问题本身. 我觉得你似乎没有真正理 ...

明白了。我之前脑子没转过弯来，觉得g光滑是指存在坐标卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判断不了f+g, f·g是否光滑。现在反应过来了，设h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1}=g?φ2^{-1}?h光滑。谢谢你

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7楼2022-02-11 10:56:30
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寒竹墨轩

新虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 寒竹墨轩 at 2022-02-11 10:56:30
明白了。我之前脑子没转过弯来，觉得g光滑是指存在坐标卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判断不了f+g, f·g是否光滑。现在反应过来了，设h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1 ...

不过前提是坐标卡(φ1,V1)与(φ2,V2)相容，这个是一开始就假定了的吗？

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8楼2022-02-11 11:06:24
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