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寒竹墨轩新虫 (著名写手)
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请教陈维桓《微分流形初步》上的一个问题已有1人参与
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陈维桓《微分流形初步》第二版第二章第2节第62页划线的这个地方（图1）没看明白。按照定义，函数f,g在点x处光滑是指存在坐标卡(V1,φ1)和(V2,φ2)，使得 f◦φ1^{-1} 在点 φ1(x) 光滑， g◦φ2^{-1} 在点 φ2(x) 光滑。但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集（图2），又如何判断 f+g, f·g 是否在点x光滑呢？ 图1：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110813.png 图2：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110923.jpg （手机端和网页端都发不出图片，只能放图床链接了。。。） |
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2楼2022-02-05 11:15:45
3楼2022-02-11 00:58:23
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送红花一朵|
谢谢你的回答。我的意思是，尽管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集。这个问题我后来问了老师，他给我看了陈省身《微分几何讲义》第二版第九页下面的脚注（照片发不出来。。。），按照这段脚注，对任意容许的坐标卡(U,φ_U), 当U交V非空时，f?φ_U^{-1}都在φ_U(U∩V)上光滑，才能说f在V上光滑，因此在我问的问题中，即使φ1(V1)与φ2(V2)相交可能为空集，f?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上仍是有定义的，且是光滑的，这样一来(f+g)?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上就是光滑的，因此f+g是光滑的。 发自小木虫IOS客户端 |
4楼2022-02-11 05:21:36
寒竹墨轩
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5楼2022-02-11 05:23:58
【答案】应助回帖
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恕我直言, 你觉得人为的约定(书上的脚注)真的能解决你的问题吗? 那个脚注的本质只是为了说话方便而已, 并不是问题的关键所在. 引用那个脚注只是掩盖了你的问题而已. Ok, 回到你的问题本身. 我觉得你似乎没有真正理解怎么考察一个函数的光滑性. 前面我说了, 这里面只需要一个坐标卡就行了, 而且任意一个就行, 既然如此, 那么就把这个坐标卡取为 f 与 g 的定义域之交即可. 在这上面考虑光滑性就行了. 这个事情压根就不需要涉及两个坐标卡. f 与 g 各自的定义域在这里只是用来取交集而已, 别无它用. 而你的想法是想分开考虑 f 与 g 在各自的定义域(映射到欧式空间之后可能不相交) 上的光滑性, 是把条件用在了错误的方向上, 所以才产生了你那个似是而非的疑问. 正确的做法应该是一上来就把定义域取交集, 而不是分开考虑. 你再仔细想想? |
6楼2022-02-11 09:54:19
寒竹墨轩
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明白了。我之前脑子没转过弯来，觉得g光滑是指存在坐标卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判断不了f+g, f·g是否光滑。现在反应过来了，设h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1}=g?φ2^{-1}?h光滑。谢谢你  发自小木虫IOS客户端 |
7楼2022-02-11 10:56:30
寒竹墨轩
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8楼2022-02-11 11:06:24
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