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寒竹墨轩新虫 (著名写手)
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请教陈维桓《微分流形初步》上的一个问题 已有1人参与
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陈维桓《微分流形初步》第二版第二章第2节第62页划线的这个地方（图1）没看明白。按照定义，函数f,g在点x处光滑是指存在坐标卡(V1,φ1)和(V2,φ2)，使得 f◦φ1^{-1} 在点 φ1(x) 光滑， g◦φ2^{-1} 在点 φ2(x) 光滑。但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集（图2），又如何判断 f+g, f·g 是否在点x光滑呢？ 图1：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110813.png 图2：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110923.jpg （手机端和网页端都发不出图片，只能放图床链接了。。。） |
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明白了。我之前脑子没转过弯来，觉得g光滑是指存在坐标卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判断不了f+g, f·g是否光滑。现在反应过来了，设h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1}=g?φ2^{-1}?h光滑。谢谢你  发自小木虫IOS客户端 |
7楼2022-02-11 10:56:30
寒竹墨轩
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寒竹墨轩
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谢谢你的回答。我的意思是，尽管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能为空集。这个问题我后来问了老师，他给我看了陈省身《微分几何讲义》第二版第九页下面的脚注（照片发不出来。。。），按照这段脚注，对任意容许的坐标卡(U,φ_U), 当U交V非空时，f?φ_U^{-1}都在φ_U(U∩V)上光滑，才能说f在V上光滑，因此在我问的问题中，即使φ1(V1)与φ2(V2)相交可能为空集，f?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上仍是有定义的，且是光滑的，这样一来(f+g)?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上就是光滑的，因此f+g是光滑的。 发自小木虫IOS客户端 |
4楼2022-02-11 05:21:36
