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clcfang

银虫 (小有名气)

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[求助] 关于重积分的计算问题已有2人参与

求指教，计算重积分或通过变量替换计算重积分，一定要画图，然后化为累次积分确定积分上下限吗，当图不好画（任意的方程都对应曲线或曲面）或者四维以上画不出时怎么办？有没有不用画图计算重积分或曲面积分的方法？谢谢！

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数学！数学！

1楼 2020-08-19 18:06:48

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zaq47942

铁杆木虫 (职业作家)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+10, thank 2020-08-21 19:35:11
clcfang: 金币+10, ★有帮助, 感谢你这么认真回答，确实不用画图的呀？不过我问的是两个圆柱相交成十字，其公共部分体积。好像哪本书上有这个例题，我找不到了。 2020-08-21 22:30:53

引用回帖:

5楼: Originally posted by clcfang at 2020-08-20 09:47:19
感谢你的回答！仍有不懂。我举个例子，比如两个圆柱相交（从侧面）求公共部分体积。（1）在两圆柱底面半径相等且正对着垂直相交（2）底面半径不等或斜着相交时
你能教下不画图怎么计算吗？...

$\left\{x,y,z\vert x^2+y^2\leq r^2,\;{(x-a)}^2+y^2\leq r^2,\;0<z<h\right\},\;a<2r$
$x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta$
$\left\{\begin{array}{l}0\leq\rho\leq r,\;\\\rho^2-2a\rho\cos\theta+a^2-r^2\leq0\end{array}\right.$
这里只写r<a<2r的情况， $4a^2\cos^2\theta-4(a^2-r^2)>0,\;-arc\sin\frac ra<\theta<arc\sin\frac ra$ ,
$\left\{\begin{array}{l}0\leq\rho\leq r,\;\\a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\end{array}\right.$
r<a, 只需比较端点r和 $a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}$ ，
若 $arc\cos\frac a{2r}<arc\sin\frac ar$ ,
$-arc\cos\frac a{2r}\leq\theta\leq arc\cos\frac a{2r}$ 时，
$a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq r$ .
$arc\cos\frac a{2r}\leq\theta\leq arc\sin\frac ar$ 或 $-arc\sin\frac ar\leq\theta\leq-arc\cos\frac a{2r}$ 时，
$a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}$ .
若 $arc\cos\frac a{2r}<arc\sin\frac ar$ ,
则 $-arc\sin\frac ar<\theta<arc\sin\frac ar$ 时 $a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}>r$ , 只有 $a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq r$ .

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9楼2020-08-21 16:49:00

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hylpy

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
clcfang: 金币+10, ★有帮助 2020-08-21 10:30:12

画图是为了增加直观，也是为了寻找解题思路。但并不一定是必须的。当图不好画时，就只能利用一些特殊的技巧。这些技巧没有成式，只能因题而异。太技巧的题，难度也就大了，想到了简单，想不到就很难。

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clcfang

凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2020-08-19 21:06:12

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zaq47942

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不需画图，就可以通过不等式计算出积分的上下界

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clcfang

3楼2020-08-19 21:10:39

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hylpy at 2020-08-19 21:06:12
画图是为了增加直观，也是为了寻找解题思路。但并不一定是必须的。当图不好画时，就只能利用一些特殊的技巧。这些技巧没有成式，只能因题而异。太技巧的题，难度也就大了，想到了简单，想不到就很难。

不画图，化为累次积分时该怎么确定上下限呢

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数学！数学！

4楼2020-08-20 09:35:13

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