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824447661

新虫 (正式写手)

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[求助] 求双曲正切函数的Lipschitz系数怎么求的？已有1人参与

就是这个f(x)-f(y)〡≤L∣x-y〡里面的L怎么求的，x和y是任意的，f(x)=tanh（x），怎么求L的值等于多少？急求

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1楼2019-10-14 16:03:38

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zyh700600

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
824447661(Edstrayer代发): 金币+21, thank 2019-10-19 14:06:32

由中值定理，有
f(x)-f(y) = f'(z)*(x-y)
(x < z < y )

故 L 等于〡f'(z)〡的最大值

求f(z)的一阶导数，有
f'(z) = $\frac{4 e^{2 z}}{\left(e^{2 z}+1\right)^2}$

求〡f'(z)〡的一二阶导数，有
f''(z) = $-\frac{8 e^{2 z} \left(e^{2 z}-1\right)}{\left(e^{2 z}+1\right)^3}$
f'''(z) = $\frac{16 e^{2 z} \left(-4 e^{2 z}+e^{4 z}+1\right)}{\left(e^{2 z}+1\right)^4}$

由
f''(0) = 0
f'''(0) = -2

知〡f'(z)〡的最大值等于〡f'(0)〡

故
L = 〡f'(0)〡 = 1

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2楼2019-10-18 23:30:42

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zyh700600

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【答案】应助回帖

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Edstrayer: 金币+10, Latex 2019-10-19 14:06:55

f(z)的1阶导数
$\frac{4 e^{2 z}}{\left(e^{2 z}+1\right)^2}$

f(z)的2阶导数
$-\frac{8 e^{2 z} \left(e^{2 z}-1\right)}{\left(e^{2 z}+1\right)^3}$

f(z)的3阶导数
$\frac{16 e^{2 z} \left(-4 e^{2 z}+e^{4 z}+1\right)}{\left(e^{2 z}+1\right)^4}$

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3楼2019-10-18 23:33:50

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