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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖 conanwj: 金币+20, 信息EPI+1, 优秀解答 2018-06-27 18:33:11
画图在于你想要的精度是多少, 为了说明这个图应该怎样画, 我举个方波的例子.
下图中Fig. 1是方波的Fourier逼近, 其中三根曲线分别对应三个不同的N(不同的精度). 当N=10^6时, 已经有点像你给出的截图了. 注意横坐标.
但是当我们把横坐标放大看(只看Fig. 1中原点附近的1/10), 如图Fig. 2所示, 我们发现原来"挺好"的图变得"不那么好"了.
同理, 我们可以再增大N画出以为很好的图. 但是当我们再放大看时, 又会出现"奇怪的"现象了.
当N->∞时, Gibbs现象存在, 因此图变得不好画了: 既要表现Gibbs现象, 又要保持partial sum S(x)的连续性. 折中的方法如你给的截图给出一个大概的"现象图".
BTW, Fig. 1和Fig. 2也说明了Dirichlet定理和Gibbs现象并不矛盾(关键还是在于pointwise收敛). 如Fig. 1中, 横坐标x=0.2*10^{-3}对应的S(x), 在N=10^{4}并不接近f(x)的值(这里f的幅值是π/4), 原因是Gibbs的峰值就在这附近. 当我们增大N时, 峰值向左移动, 如其它线条所示.
Gibbs.jpg
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