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吉布斯现象是否意味着高数中的狄利克雷定理有点问题？已有1人参与
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高数中有关傅里叶级数的狄利克雷定理是这么说的，在间断点上收敛于（f（0-）+f（0+））/2；而在连续点上收敛于f（x）。另外，在高数中讲这个收敛的时候就是指的是原始意义的等值收敛，并不是后来所谓的均方收敛。 可吉布斯现象的文献告诉我们说，对于无限项和，吉布斯峰值也不消失，即在间断点的无限小邻域内仍然存在高出f（x）9%的吉布斯峰，也就是说， 除了间断点 x=0外,还有不收敛于f（x）的点存在，这和狄利克雷定理有一定矛盾。 |
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junefi
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这并没有矛盾, 也看不出任何矛盾. 首先, Dirichlet定理说的是逐点收敛(pointwise convergence), 不是uniform convergence, 更不是"均方收敛"(special case of convergence in L_p?); 就是指固定一点x (函数f的连续点), 那么必然存在足够多项的Fourier级数, 使得|S(x) - f(x)|要多小有多小 (partial sum在x收敛与f(x)). 而Gibbs现象的overshoot出现在哪里呢? 出现在不间断点x_0的邻域. 这个邻域多大? 可以足够小!!! 什么叫足够小? 想要多小就有多小, 只要Fourier级数的项足够多! 从这里可以依稀感觉到了, 不间断点的overshoot是会移动的. 在不间断点x_0的邻域会出现overshoot, 但是随着级数项的增多, 这个overshoot会向x_0移动, 想要移动多近就移动多近, 即我们所说的这个邻域想要多小就有多小, 小到里面几乎只剩x_0 (非严格意义的说法). 几乎只剩x_0的解释: 假设我们在x_0的邻域找到另一个点x_1, 这个overshoot刚好在x_1处. 那我们改怎么办? 增加Fourier级数的项, 此时overshoot就会向x_0移动而远离x_1. 那么x_1就不在overshoot所在的x_0的新邻域内了. |
2楼2018-06-26 09:45:23
junefi
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你说的意思其实有点像uniform convergence, 也就是指先固定partial sum的项数N, 然后去check每一点是否都"收敛"(离f(x)函数值很近). 但事实上Dirichlet定理说的不是uniform convergence, 而是POINTWISE收敛. POINTWISE收敛指的是我每次都固定一点看, 如连续点x_0, 那么S(x_0)离函数f(x_0)多近呢? 这要看N多大, 如果这点的值S(x_0)离f(x_0)很远, 我就增大N. Dirichlet定理说我总能找到一个足够大的N使得S(x_0)离f(x_0)足够近. 所以这个N是和x_0有关的. 例如你说的step function, 在x=1处, 可能N=100就有S(1)和f(1)足够小了; 但是在x=0.01, 这个N可能要10000; 而在x=0.0001, 这个N可能就要更大. 无论你考虑的x有多么接近0, 因为它是连续点, 总能找到一个N(很大很大很大, 依赖于x的选择), 使得S(x)离f(x)足够近. 注意, 这里我们是只看一个点, 而选择使得在这个点下partial sum"能靠近"f函数值的N, 其它点在这个N下靠不靠近f我们不管. 如果我们需要观察其它点, 那么就要重新为所观察的点选择足够大的N. 这是POINTWISE收敛的"精髓". 现在回来看看overshoot在哪里. 上面的例子, 在x=1处, overshoot可能在0.01附近(假设的); 而在x=0.01, 在刚才说了N=100时overshoot刚好在这里, 那现在我们该怎么办? 选择N=10000, 此时overshoot向左移动了(可能移动到了0.0001附近), 使得在x=0.01处能收敛了... 因为这个overshoot的移动, 所以无论我们考虑哪个连续点(这个连续点如何接近x=0), 我们都能把overshoot再向原点处移动(这是因为实数是dense的, 一个大于0的数, 它的左边总是还有大于0的数, 所以overshoot还能往左移). BTW, 我也不是数学出身的... Remark: 我看了你发的帖子, 你似乎对收敛这个概念不是很清楚. 你可以先复习一下极限的(ε, δ)-definition. |
4楼2018-06-26 12:17:11
junefi
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conanwj: 金币+20, 信息EPI+1, 优秀解答 2018-06-27 18:33:11
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conanwj: 金币+20, 信息EPI+1, 优秀解答 2018-06-27 18:33:11
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画图在于你想要的精度是多少, 为了说明这个图应该怎样画, 我举个方波的例子. 下图中Fig. 1是方波的Fourier逼近, 其中三根曲线分别对应三个不同的N(不同的精度). 当N=10^6时, 已经有点像你给出的截图了. 注意横坐标. 但是当我们把横坐标放大看(只看Fig. 1中原点附近的1/10), 如图Fig. 2所示, 我们发现原来"挺好"的图变得"不那么好"了. 同理, 我们可以再增大N画出以为很好的图. 但是当我们再放大看时, 又会出现"奇怪的"现象了. 当N->∞时, Gibbs现象存在, 因此图变得不好画了: 既要表现Gibbs现象, 又要保持partial sum S(x)的连续性. 折中的方法如你给的截图给出一个大概的"现象图". BTW, Fig. 1和Fig. 2也说明了Dirichlet定理和Gibbs现象并不矛盾(关键还是在于pointwise收敛). 如Fig. 1中, 横坐标x=0.2*10^{-3}对应的S(x), 在N=10^{4}并不接近f(x)的值(这里f的幅值是π/4), 原因是Gibbs的峰值就在这附近. 当我们增大N时, 峰值向左移动, 如其它线条所示.  Gibbs.jpg |
6楼2018-06-26 18:12:45
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