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你说的意思其实有点像uniform convergence, 也就是指先固定partial sum的项数N, 然后去check每一点是否都"收敛"(离f(x)函数值很近). 但事实上Dirichlet定理说的不是uniform convergence, 而是POINTWISE收敛. POINTWISE收敛指的是我每次都固定一点看, 如连续点x_0, 那么S(x_0)离函数f(x_0)多近呢? 这要看N多大, 如果这点的值S(x_0)离f(x_0)很远, 我就增大N. Dirichlet定理说我总能找到一个足够大的N使得S(x_0)离f(x_0)足够近. 所以这个N是和x_0有关的.
例如你说的step function, 在x=1处, 可能N=100就有S(1)和f(1)足够小了; 但是在x=0.01, 这个N可能要10000; 而在x=0.0001, 这个N可能就要更大. 无论你考虑的x有多么接近0, 因为它是连续点, 总能找到一个N(很大很大很大, 依赖于x的选择), 使得S(x)离f(x)足够近.
注意, 这里我们是只看一个点, 而选择使得在这个点下partial sum"能靠近"f函数值的N, 其它点在这个N下靠不靠近f我们不管. 如果我们需要观察其它点, 那么就要重新为所观察的点选择足够大的N. 这是POINTWISE收敛的"精髓".
现在回来看看overshoot在哪里. 上面的例子, 在x=1处, overshoot可能在0.01附近(假设的); 而在x=0.01, 在刚才说了N=100时overshoot刚好在这里, 那现在我们该怎么办? 选择N=10000, 此时overshoot向左移动了(可能移动到了0.0001附近), 使得在x=0.01处能收敛了... 因为这个overshoot的移动, 所以无论我们考虑哪个连续点(这个连续点如何接近x=0), 我们都能把overshoot再向原点处移动(这是因为实数是dense的, 一个大于0的数, 它的左边总是还有大于0的数, 所以overshoot还能往左移).
BTW, 我也不是数学出身的...
Remark: 我看了你发的帖子, 你似乎对收敛这个概念不是很清楚. 你可以先复习一下极限的(ε, δ)-definition. |
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