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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 多元多项式重构问题请教
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)

[求助] 多元多项式重构问题请教 已有1人参与

各位前辈好，最近在工作中遇到一个问题，想请教大家。
我想用高阶的多项式重构一个光滑变量，比如，f(x,y)≈a10*x+a01*y+a20*x*x+a02*y*y+a11*x*y..。
难点在于多项式系数如何确定。
目前我用是对f求偏导，然后用有限差分近似(在均匀网格上)，从而确定polynomial的系数。
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx,
这个方法的缺点是计算高阶偏导数不好处理，比如我要算二阶混合导数fxy，需要先算出一阶导数fx,fy，然后再对fx,fy求偏导。
上述做法在用高阶有限差分或者计算高阶导数时，会引入很宽的模板。具体应用时，效果不是特别好。
当然，我也可以由f计算出各阶偏导数，相对上述方法更加compact。比如fxy=[f(i+1,j+1)-f(i+1,j-1)-f(i-1,j+1)+f(i-1,j-1)]/4.0/dx/dy.
不过，高阶混合导数有限差分格式推导的工作量实在太大，特别是三维。。。
想请教大家，有没有compact，并且比较简单的方法，比如least square？
谢谢！
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1楼 2017-12-10 17:22:39
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lovvv002569: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2017-12-13 13:07:23
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx,  Is this correct?

If your model is fixed, like here you choose multiple variable polynomial form, you just need build a overdetermined linear system and then use linear square method to get your best coefficients.

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2楼2017-12-11 10:52:43
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zaq123321 at 2017-12-11 10:52:43
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈/2.0/dx,  Is this correct?

If your model is fixed, like here you choose multiple variable polynomial form, you just need ...

你好，非常感谢你的回复。
(1) 这个表达式的确有问题，正切的写法是: a10=∂f/∂x|i,j, ∂f/∂x|i,j ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx.
(2) 您说的linear square method是指linear square fiting吗? 貌似linear square 最多只有二阶精度?
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3楼2017-12-11 13:49:35
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by lovvv002569 at 2017-12-11 13:49:35
你好，非常感谢你的回复。
(1) 这个表达式的确有问题，正切的写法是: a10=∂f/∂x|i,j, ∂f/∂x|i,j ≈/2.0/dx.
(2) 您说的linear square method是指linear square fiting吗? 貌似linear sq ...

Are you sure what you have written done (1) is correct? Do you know how to take the derivative of f(x,y) with respect to x according to your formulation?
I don't understand what you mean second order of accuracy. It looks to me this is an over determined problem or underdetermined problem

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4楼2017-12-13 10:25:48
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zaq123321 at 2017-12-13 10:25:48
Are you sure what you have written done (1) is correct? Do you know how to take the derivative of f(x,y) with respect to x according to your formulation?
I don't understand what you mean second ord ...

前辈，感谢您的回复，第一个方法我略去了一些条件，这边就不再详细叙述了；但我已经在重构算例中测出了相应的精度。
关于二阶精度是我搞错了linear的概念，我以为linear指的是linear polynomial。惭愧。。。
我这两天认真研究了下least square，对于polynomial，用least square确定系数的确是一个非常不错的方法。
感谢您的帮助！
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5楼2017-12-13 13:07:00
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zaq123321

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The (1) you wrote is not correct. . It's different with yours

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6楼2017-12-13 17:50:07
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zaq123321 at 2017-12-13 17:50:07
The (1) you wrote is not correct.  \partial f/\partial x=a10+2*a20*x+a11*y+.... It's different with yours

前辈,
这个重构的基本思想是对变量f在点(i,j)处进行泰勒展开，f(x,y)=f(i,j)+∂f/∂x(i,j)*(x-xi)+∂f/∂y(i,j)*(y-yi)+ ...
我把上述式子改写成 f=f(i,j)+a10*X+a01*Y+...
其中a10=∂f/∂x(i,j), X=x-xi
您写的公式里，后面几项在离散时都可以约去。
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7楼2017-12-13 18:20:41
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
Where is f(i,j) in your first formulation? Do not mix Taylor expansion and fitting function. They are different.

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8楼2017-12-13 20:32:48
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by zaq123321 at 2017-12-13 20:32:48
Where is f(i,j) in your first formulation? Do not mix Taylor expansion and fitting function. They are different.

前辈，不好意思，第一个公式写的时候少写了这一项。
对网格(i,j)内的光滑变量f重构，f(x,y)=f(i,j)+∂f/∂x(i,j)*(x-xi)+∂f/∂y(i,j)*(y-yi)+ ...

我不太明白您说的多项式重构和泰勒展开的具体区别，可以再解释下吗？
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9楼2017-12-15 08:20:34
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
I didn't not say that.

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10楼2017-12-15 09:07:11
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