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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 多元多项式重构问题请教
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)

[求助] 多元多项式重构问题请教 已有1人参与

各位前辈好，最近在工作中遇到一个问题，想请教大家。
我想用高阶的多项式重构一个光滑变量，比如，f(x,y)≈a10*x+a01*y+a20*x*x+a02*y*y+a11*x*y..。
难点在于多项式系数如何确定。
目前我用是对f求偏导，然后用有限差分近似(在均匀网格上)，从而确定polynomial的系数。
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx,
这个方法的缺点是计算高阶偏导数不好处理，比如我要算二阶混合导数fxy，需要先算出一阶导数fx,fy，然后再对fx,fy求偏导。
上述做法在用高阶有限差分或者计算高阶导数时，会引入很宽的模板。具体应用时，效果不是特别好。
当然，我也可以由f计算出各阶偏导数，相对上述方法更加compact。比如fxy=[f(i+1,j+1)-f(i+1,j-1)-f(i-1,j+1)+f(i-1,j-1)]/4.0/dx/dy.
不过，高阶混合导数有限差分格式推导的工作量实在太大，特别是三维。。。
想请教大家，有没有compact，并且比较简单的方法，比如least square？
谢谢！
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1楼 2017-12-10 17:22:39
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
Where is f(i,j) in your first formulation? Do not mix Taylor expansion and fitting function. They are different.

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8楼2017-12-13 20:32:48
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lovvv002569: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2017-12-13 13:07:23
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx,  Is this correct?

If your model is fixed, like here you choose multiple variable polynomial form, you just need build a overdetermined linear system and then use linear square method to get your best coefficients.

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2楼2017-12-11 10:52:43
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lovvv002569

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zaq123321 at 2017-12-11 10:52:43
比如 ∂f/∂x =a10, ∂f/∂y=a01...，∂f/∂x ≈/2.0/dx,  Is this correct?

If your model is fixed, like here you choose multiple variable polynomial form, you just need ...

你好，非常感谢你的回复。
(1) 这个表达式的确有问题，正切的写法是: a10=∂f/∂x|i,j, ∂f/∂x|i,j ≈[f(i+1)-f(i-1)]/2.0/dx.
(2) 您说的linear square method是指linear square fiting吗? 貌似linear square 最多只有二阶精度?
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3楼2017-12-11 13:49:35
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by lovvv002569 at 2017-12-11 13:49:35
你好，非常感谢你的回复。
(1) 这个表达式的确有问题，正切的写法是: a10=∂f/∂x|i,j, ∂f/∂x|i,j ≈/2.0/dx.
(2) 您说的linear square method是指linear square fiting吗? 貌似linear sq ...

Are you sure what you have written done (1) is correct? Do you know how to take the derivative of f(x,y) with respect to x according to your formulation?
I don't understand what you mean second order of accuracy. It looks to me this is an over determined problem or underdetermined problem

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4楼2017-12-13 10:25:48
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