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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 是否存在正实数使以下数列发散？

设 $x$ 为大于 $1$ 的正实数，约定
(1) $x_0=a_0=x,$
(2) $\forall n\in\mathbb{N},~x_n=x_{n+1}^{x_{n+1}},a_{n+1}=x_{n+1}^{a_n}.$
请问是否存在大于1的正实数 $x$ 使得数列 $a_n$ 发散。谢谢。

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1楼 2017-08-30 11:00:19

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glgqc

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tigou: 金币+10, ★有帮助 2017-09-04 08:51:53

可以先假设 $x>1$ ，则可得 $x_n$ 是单调递减的，极限为1，当n充分大时，数列 $a_n$ 应该也是单调递减的，极限应该存在，故不存在这样的大于1的 $x$ 使得数列 $a_n$ 发散。（画图看的，没详细证明）

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2楼2017-08-31 14:00:30

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tigou

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by glgqc at 2017-08-31 14:00:30
可以先假设x>1，则可得x_n是单调递减的，极限为1，当n充分大时，数列a_n应该也是单调递减的，极限应该存在，故不存在这样的大于1的x使得数列a_n发散。（画图看的，没详细证明）...

谢谢关注此问题。 $a_n$ 单调递减的结论太草率。其实只要有一个 $a_n$ 大于 $a_{n+1}$ ,则该数列必收敛于1。但要证明这个中间结论很不容易, 反正我花了几个月的时间也没解决。