24小时热门版块排行榜

返回列表

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

[求助] 是否存在正实数使以下数列发散？

设 $x$ 为大于 $1$ 的正实数，约定
(1) $x_0=a_0=x,$
(2) $\forall n\in\mathbb{N},~x_n=x_{n+1}^{x_{n+1}},a_{n+1}=x_{n+1}^{a_n}.$
请问是否存在大于1的正实数 $x$ 使得数列 $a_n$ 发散。谢谢。

回复此楼

» 猜你喜欢

26申博自荐已经有4人回复
职称评审没过，求安慰已经有57人回复
最近几年招的学生写论文不引自己组发的文章已经有8人回复
A期刊撤稿已经有4人回复

0/0的意义是所有数的集合

1楼 2017-08-30 11:00:19

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

glgqc

木虫 (小有名气)

应助: 5 (幼儿园)
金币: 1716.1
帖子: 60
在线: 61小时
虫号: 1960432
注册: 2012-08-28
性别: GG
专业: 数学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tigou: 金币+10, ★有帮助 2017-09-04 08:51:53

可以先假设 $x>1$ ，则可得 $x_n$ 是单调递减的，极限为1，当n充分大时，数列 $a_n$ 应该也是单调递减的，极限应该存在，故不存在这样的大于1的 $x$ 使得数列 $a_n$ 发散。（画图看的，没详细证明）

赞一下

回复此楼

2楼2017-08-31 14:00:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tigou

木虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 3 (幼儿园)
金币: 2477.6
散金: 252
红花: 4
帖子: 709
在线: 225.9小时
虫号: 3724311
注册: 2015-03-10
专业: 数论

引用回帖:

2楼: Originally posted by glgqc at 2017-08-31 14:00:30
可以先假设x>1，则可得x_n是单调递减的，极限为1，当n充分大时，数列a_n应该也是单调递减的，极限应该存在，故不存在这样的大于1的x使得数列a_n发散。（画图看的，没详细证明）...

谢谢关注此问题。 $a_n$ 单调递减的结论太草率。其实只要有一个 $a_n$ 大于 $a_{n+1}$ ,则该数列必收敛于1。但要证明这个中间结论很不容易, 反正我花了几个月的时间也没解决。